Enroscaduras de otras teorías cohomology

Question

Tergiversaciones en cohomology teorías tienen una larga historia y ha sido utilizado con gran efecto. El ejemplo clásico es cohomology con locales de los coeficientes. El uso de este uno puede formular la dualidad de Poincaré y la Thom isomorfismo para unorientable colectores. Más recientemente, trenzado de K-teoría ha sido vinculado a la teoría de las cuerdas (como el B-campos) y la teoría de la representación de bucle de grupos (el Liberado-Hopkins-Teleman teorema).

Sin embargo, cohomology y K-teoría son los únicos ejemplos sé de donde tergiversaciones se utilizan con regularidad. Lo que es conocido por tergiversaciones de otros cohomology teorías, por ejemplo, la asociada a cobordism? En este caso, sería de esperar una similitud a la K-teoría, a partir de la Conner-Floyd teorema. Hacer estos tienen interpretaciones geométricas? ¿Cuáles son las aplicaciones de tales tergiversaciones?

Answer 1

Las formas retorcidas existen para todos los multiplicativo generalizada cohomology teorías. Un bonito papel el cual trata de un moderno punto de vista de giros de homología, K-teoría, y TMF es el siguiente papel Giros de la K-teoría y TMF por Ando, Blumberg-Gepner.

Si E es una generalización de los cohomology teoría, representada por un espectro también se denota E, entonces el E-cohomology de X coincide con la homotopy clases de mapas

$$[ \Sigma^{-i} X, E] $$

es decir, el "E-funciones con valores en X". Moralmente, si E es un anillo de espectro, entonces podemos hablar de E-módulo de espectros, y sobre E-líneas: los E-módulo de espectros que son equivalentes a E, pero no necesariamente canónicamente así. Con una lo suficientemente sólida teoría, deberíamos ser capaces de hablar acerca de los paquetes de los espectros de más de X, y en particular del E-línea de paquetes de más de X. Entonces la costumbre de E-cohomology de X puede ser pensado como la secciones de la trivial E-line paquete de más de X. Un E-twist es un posiblemente no trivial E-line paquete de más de X, y retorcido E-cohomology consta de las siguientes secciones de esta línea de paquete.

La parte difícil es hacer de este filosófica de la imagen en algo matemáticamente precisa. El documento mencionado es una manera de hacer esto.

En general, el E-líneas se clasifican por el espacio $BGL_1(E)$, que es la clasificación de espacio de la $A_\infty$espacio $GL_1(E)$. Este espacio está definido por el pull-back diagrama

GL_1(E) --> &Omega&infinE
 | |
 v v
 &pi0(E)x --> &pi0(E)

A partir de esto se puede leer en el homotopy grupos de $BGL_1(E)$ y se ve que para $n \geq 2$ están de acuerdo con los de Correo, sino que se desplazan en el grado.

De manera más general, cuando E es un anillo conmutativo espectro, uno puede estudiar la clase más grande de "E-líneas", que son invertible E-módulos. Esto requiere de una sólida teoría de los espectros cuando usted tiene una buena idea de smash producto a través de E. Esto conduce a una mayor clasificación de espacio de E-líneas cuya cero homotopy grupo es el grupo de Picard Pic(E). De manera más general, usted podría considerar la posibilidad de paquetes de la dirección general de los módulos (no necesariamente invertible) para ser giros. Probablemente hay aplicaciones de este, pero no recuerdo ninguna mano.

Tan lejos como descripciones geométricas de ir, que podría ser pedir demasiado. Incluso para la K-teoría sólo es el más simple de los tipos de giros correspondientes a la parte inferior de unos homotopy grupos de $BGL_1(K)$, que parecen tener una clara descripción geométrica (por ejemplo, en términos de super gerbes y álgebras de clifford). La mayor giros de la K-teoría son más sutiles y no es un a priori claro que tienen un carácter puramente geométrico descripción.