La mejor incondicional resultado de delimitación primer lagunas es debido a Baker, Harman y Pintz, y establece que para cualquier suficientemente grande $n$, el intervalo de $$[n,n+Cn^{0.525}]$$ contains a prime, for some constant $C>0$. Tenía curiosidad por saber si un análogo resultado se da en los enteros de Gauss.
Pregunta básica: ¿Cuál es el más lento crecimiento de forma monotónica $F$ tal que para cualquier suficientemente grande $n,m>0,$ el cuadro de $$[n,n+F(n)]\times [m,m+F(m)]$$ contiene una Gaussiana prime?
Vamos a suponer que $m\asymp n$ desde la posibilidad de $m$, siendo significativamente menor que $n$ puede causar importantes problemas adicionales que en detrimento de lo que me quiere preguntar aquí (en particular si $m$ es fijo, esto se convierte en una variante de Landau del problema).
Por esta razón, estoy interesado en particular en el caso de $m=n$, ya que cualquier método que se aplica aquí es probable que también se aplica al $m\asymp n$. El caso de $m=n$ es de la siguiente forma:
Pregunta principal: ¿Cuál es el crecimiento más lento de la función $F$ tal que para suficientemente grande $n$, existe siempre $$a,b\in [n,n+F(n)]$$ with $a^2+b^2$ prime?
Observación 1: no Hay resultados para los primos de Gauss en estrecha sectores, lo cual puede considerarse como un análogo de primer brechas en los enteros de Gauss. Que es, muy pequeños sectores en coordenadas radiales donde el ángulo tiende a $0$ bastante rápido ya que el radio tiende a infinito todavía contienen Gaussiana de los números primos. Ver este Mathoverflow respuesta, y este papel de Harman y Lewis. Me pregunto si tal resultado se da en coordenadas Cartesianas.
Observación 2: En más generalidad, podemos preguntar acerca de las representaciones por norma formas. Deje $f\in\mathbb{Z}[X]$ ser algunos monic polinomio irreducible de grado $n$ con root $\omega\in\mathbb{C}$, vamos a $K=\mathbb{Q}(\omega)$ y deje $N(\vec{x})$ para $\vec{x}\in\mathbb{Z}^n$ ser definido por $$N(\vec{x})=N(x_1,\dots,x_n)=N_{K/\mathbb{Q}}\left(\sum_{i=1}^{n} x_i \omega^{i-1}\right).$$ We know how to count the number of $\vec{x}\in[1,X]^n$ such that $N(\vec{x})$ is prime, and in fact, it is even known that a right order of magnitude count can be obtained when $\vec{x}$ is restricted to the significantly smaller box $[1,X]^{3n/4}\times [0]^{n/4}$ (ver Teorema 1.1 aquí). La generalización de la pregunta, entonces es:
General Versión: ¿Qué es el crecimiento más lento de la función $F=F_K$, lo que probablemente depende de la dimensión de $n$, pero posiblemente más específicamente en el campo de número de $K$, de tal manera que durante suficientemente grande $X$ existe $$\vec{x}\in[X,X+F(X)]^n$$ such that $N(\vec{x})$ es primo?
