La división de Automorphism Grupo

Question

Es bien sabido que para cualquier grupo de $G$ hay una secuencia exacta
$0 \rightarrow \text{Inn}(G) \rightarrow \text{Aut}(G) \rightarrow \text{Out}(G) \rightarrow 0$.
¿Esta secuencia siempre dividida, es decir, es siempre cierto que $\text{Aut}(G)$ es un semidirect producto de $\text{Inn}(G)$$\text{Out}(G)$?

Sospecho que no, pero no han llegado aún a través de un contraejemplo.

Gracias de antemano!

Answer 1

Aproximadamente el 20% de los grupos finitos de orden en la mayoría de los 60 tiene un no-split automorphism grupo.

El más pequeño ejemplo es el diedro grupo de orden 10. Su automorphism grupo es el Frobenius grupo de orden 20, el normalizador de Sylow 5-subgrupo en $S_5$. Este automorphism grupo tiene un elemento de orden 4, pero el exterior automorphism grupo es de orden 2. Si la extensión se divide, entonces sería dividir cuando se limita a la Sylow 2-subgrupos, pero un grupo cíclico de orden 4 no es una división de extensión de un grupo de orden 2 por un grupo de orden 2.

El más pequeño nilpotent ejemplos tener un orden de 16 años, e incluyen el diedro y cuaterniones grupos de orden 16, así como el producto directo del grupo cíclico de orden 2 con el quaternion grupo de orden 8.

El más pequeño no supersolvable ejemplo tiene orden de 36, y es un índice de 2 subgrupo de AGL(1,9), por lo que es básicamente idéntica a la de la orden de 10 de ejemplo, un índice de 2 subgrupo de AGL(1,5).

El más pequeño no solucionable ejemplo es el simple grupo de pedido 360, $A_6 \cong \operatorname{PSL}(2,9)$ con automorphism grupo $\operatorname{P\Gamma L}(2,9)$. El exterior automorphism grupo de primaria abelian de orden 4, y el preimages de dos de los tres máximos subgrupos están divididos, pero la tercera, dando lugar a la Mathieu grupo de grado 10. Hay ejemplos similares para todos los impares primer poder del cuadrado de $q^2$. Ellos están llamados a $M(q^2)$ y se Zassenhaus grupos de grado $q^2+1$.

Answer 2

Gruñón Chirivía dijo: "sospecho que esto no para $G=F_n$, $n\geq 2$. De hecho, estoy bastante seguro de que no es inyectiva homomorphism $\operatorname{Out}(F_n)\rightarrow \operatorname{Aut}(F_n)$." Gruñón Chirivía la primera frase es correcta. Estoy seguro acerca de la segunda frase, pero creo que la he escuchado antes...

Es suficiente prueba de mal humor Chirivía la primera frase por $n=2$ ( $n>2$ , sólo tiene que escribir lo que pongo a continuación y arreglar todos los otros generadores). Escribir $F_2=F(a, b)$.

Tome $\phi: a\mapsto a^{-1}b, b\mapsto b$. Este es infinita orden dos) en $\operatorname{Aut}(G)$ pero se ha finito de orden en $\operatorname{Out}(G)$, por lo que el mapa no se puede dividir. Para ver esto, observe que $\phi^2: a\mapsto b^{-1}ab, b\mapsto b$. Más generalmente, $\phi^{2n}: a\mapsto b^{-n}ab^n, b\mapsto b$. Por lo tanto, $\phi^{2n}$ es interior pero no trivial para todos los $n>0$. Por lo que el resultado se mantiene.

Tenga en cuenta que encontrar al menos $m$ tal que $\operatorname{Out}(F_n)$ incrusta en $\operatorname{Out}(F_m)$, $m>n$, es un grave problema abierto que la gente todavía están estudiando. Por ejemplo, este papel de Bridson y Vogtmann se ve en esta pregunta (ambos son famosos - Bridson incluso habló en el ICM en 2006). Menciono esto porque es vagamente relacionadas con $\operatorname{Out}(F_n)$ incrustación en $\operatorname{Aut}(F_n)$.