Es normal en el paquete de un toro trivial?

Question

Pregunta: Vamos $T^k \subseteq \mathbb{R}^n$, $ n > k$, ser una suavidad incrustado $k$-toro. Es normal paquete trivial?

¿Qué acerca de la normal de paquete de $S^k \subseteq \mathbb{R}^n$, $n > k$, el $k$-esfera suavemente incrustado en $\mathbb{R}^n$ (sospecho que no es siempre trivial)?

Lo que sabemos hasta ahora: Por ejemplo, puedo demostrar que la normal en paquete de $S^1 \subseteq \mathbb{R}^n$, $n > 1$, una suavidad incrustado círculo en $\mathbb{R}^n$, es trivial. También sé que la normal paquetes de tori y esferas que están siempre trivial en el codimension-1 caso, ya que estos colectores son orientables. Estoy interesado en una respuesta más general.

La imagen más grande: Más en general, estoy interesado en las técnicas que pueden ser utilizadas para probar normal paquetes son triviales/trivial.

Answer 1

Usted debe ser capaz de demostrar que el normal paquetes de codimension $2$ son triviales así. Este es un poco más difícil de codimension $1$; usted necesita saber que esos paquetes son los determinados por la clase de Euler. La literatura antigua (ver documentos citados a continuación) nos dice que el normal paquetes de esferas son triviales, una vez que el codimension es lo suficientemente alto.

El papel "En el paquete normal de un homotopy esfera incrustado en el espacio Euclidiano" por Hsiang-Levine-Szczarba (Topología Volumen 3, número 2, abril de 1965, Páginas 173-181) cita a un inédito resultado de A. Haefliger que hay una incrustación de $S^{11}$ en $R^{17}$ no triviales normal en paquete. Jerry Levine papel "Una clasificación de los diferenciable nudos" (Anales 82 (1965) 15-50) determina (véase la proposición 6.2) los posibles normal paquetes en un rango de codimensions en términos de mapas en diferentes secuencias exactas. Es difícil resumir los resultados, pero le da una tabla al final el trato con relativamente bajas dimensiones, donde los cálculos pueden hacerse explícitas. El caso de $n=11$ e $k=6$ contiene Haefliger el ejemplo; de hecho, hay exactamente $5$ posible normales paquetes de entre todas las incrustaciones.

La frase introductoria que la última sección es un clásico Jerry Levine eufemismo: "Por el uso vigoroso de la Proposición (6.2), junto con los resultados de [1], [9], [10], [13], y [24], el cálculo de muchos de los geométricamente definidos los grupos que hemos comentado puede ser llevado a cabo para valores bajos de $n$."

Es razonablemente probable (pero habría que revisar) que algunos de los no-trivial normal paquetes de esferas que dan lugar a la no-trivial normal paquetes de tori, tomando el conectado suma de un estándar de toro (con un trivial normal bundle) con uno de los nudos de las esferas.