Cómo probar esta desigualdad $x^2_{n}\le\frac{8}{3}$

Question

vamos secuencia $\{x_{n}\}$ tales $x_{1}=0,x_{2}=1$,y $$x_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)x_{n}-x_{n-1},n\ge 2$$ mostrar que $$x^2_{n}\le\dfrac{8}{3}$$

Este problema parece interesante,y $$x_{n+1}-x_{n}=\dfrac{1}{n}x_{n}-x_{n-1}$$ así tenemos $$x_{n+1}-x_{1}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{k}-\sum_{k=1}^{n-1}x_{k}$$ donde $x_{0}=-1$

Parece que este problema es muy interesante,supongo que esto $\dfrac{8}{3}$ tal vez no es la mejor constante,Pero es más constante

Answer 1

Muy interesante problema. Una posible aproximación a la solución es a través de la teoría de los sistemas dinámicos, a la que considera una perturbación de un sistema conservador. Supongo que la solución a continuación puede ser mejorado para proporcionar un poco mejor constante.

Establecimiento $y_n=x_{n-1}$ la ecuación dada es equivalente a $$ \left\{ \begin{array}{l} y_{n+1} = x_n\\ x_{n+1} = \left(1+\frac{1}{n}\right)x_n-y_n \end{array} \right. $$

Considere la siguiente función de la energía para el sistema de $$ E_n = (x_n + y_n)^2+3(x_n-y_n)^2. $$ Utilizando la definición de $x_{n+1}$ e $y_{n+1}$ por encima, un poco largo, pero sencillo cálculo da $$ E_{n+1} = E_n + \frac{4}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)x_n^2 - \frac{8}{n}x_ny_n = E_n + \frac{4 x_n^2}{n^2} + \frac{4}{n} \left(x_n (x_n-y_n) -x_ny_n\right). $$ Recordando que $x_n-y_n = x_{n+1}-\frac{1}{n}x_n$, esto implica que $$ E_{n+1} = E_n + \frac{4}{n} (x_{n+1}x_n - x_n y_n) $$ y por lo tanto $$ \begin{align} E_{n+1} &= E_2 + \sum_{i=2}^n \frac{4}{i} (x_{i+1} y_{i+1} -x_iy_i) = E_2 + \frac{4}{n} x_{n+1} y_{n+1}+\sum_{i=3}^{n} \left( \frac{4}{i-1} - \frac{4}{i} \right)x_{i}y_{i} - 2x_2y_2\\ &=4+\frac{4}{n} x_{n+1} y_{n+1} + \sum_{i=3}^{n} \frac{4}{i(i-1)} x_{i}y_{i} \end{align} $$ donde en el último paso hemos utilizado $x_2 = 1$ e $y_2 = 0$.

La observación de que $E_{n} \geq (x_n+y_n)^2+(x_n-y_n)^2 = 2(x_n^2+y_n^2)$ deducimos $$ 2(x_{n+1}^2 + y_{n+1}^2) \leq E_{n+1} \leq 4 + \frac{2}{n}(x_{n+1}^2 + y_{n+1}^2)+\sum_{i=3}^{n} \frac{2(x_i^2 + y_i^2)}{i(i-1)} $$ o $$ x_{n+1}^2 + y_{n+1}^2 \leq 4 +\sum_{i=3}^{n} \frac{2(x_i^2 + y_i^2)}{i(i-1)} $$

Ahora queremos aplicar Gronwall del discretos lema de esta ecuación (ver aquí). Recordando $$ \sum_{i=2}^{\infty}\frac{2}{i(i+1)} = 1 $$ demostramos $x_n^2 \leq 4e$ lo que demuestra que la secuencia deseada es limitada a pesar de que con un peor constante de pedido.

P. S.: Numérico de inspección en el $(x,y)$ plano anterior sugiere la óptima obligado a ser $x_n^2 \leq \frac{9}{4}$

P. P. S.: se me pidió que añadir algunas ideas sobre cómo el argumento fue desarrollado. Las técnicas utilizadas son muy comunes en el análisis de las Odas. Una buena, de pregrado, introducción a algunas de las ideas a continuación puede encontrar en "la Dinámica no Lineal y Caos" por Strogatz (enlace). Yo no soy consciente de la minuciosa de las obras accesibles específicamente dedicado a multidimensionales discretos sistemas dinámicos (que a menudo surgen, aunque como Poincarè mapas de mayores dimensiones de los sistemas de las Odas) desde ya el caso unidimensional da lugar a varios problemas difíciles.

Con respecto a los pasos del argumento:

• La transformación en un sistema de primer orden es un truco común.
• La inspección directa de la "imperturbable" del sistema (es decir, el uno sin el $1/n$ plazo) muestra que todas las secuencias generadas por la arbitraria $x_1$ e $x_2$ 6 periódicas. De ahí la idea de buscar una conservado casi la cantidad para el caso dado. Algunas suposiciones apoyado por simulación conducido a la definición de la "energía" $E_n$ por encima de la cual se conserva hasta $O(\frac{1}{n})$ términos.
• Gronwall la técnica es finalmente una herramienta estándar en el campo. Sin embargo, en este caso, algunos pre-era necesario trabajar en la estimación de la energía para dejar sólo la convergencia de los términos (de ahí que de alguna manera dolorosa el reordenamiento y el índice de cambio en los últimos pasos).

Answer 2

Sólo por lo que esta pregunta es completamente contestada (es decir, obtener la envolvente de $8/3$) aquí añado un resumen de la prueba de $x_n^2 \leq \frac{8}{3}$ a partir de la respuesta dada aquí como Wiki de la Comunidad.

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Definir $$E_n = (x_n - x_{n-1})^2 + F_n\left(x_n + x_{n-1}\right)^2$$ con $F_n = \frac{(n-1)}{3n+1}$. La recurrencia de la relación nos da $$E_{n+1} - E_n = \frac{(F_{n+1}-F_n)}{F_n}\cdot F_n\left(x_n + x_{n+1}\right)^2 \geq 0$$ desde $F_n$ es positivo y el aumento de la función. Esto demuestra que $E_n$ es cada vez mayor. También vemos que $$E_{n+1} - E_n \leq \frac{(F_{n+1}-F_n)}{F_n}\cdot E_n \implies \frac{E_{n+1}}{F_{n+1}} \leq \frac{E_n}{F_n}$$ por lo $\frac{E_n}{F_n}$ es menor y desde $F_n$ converge se sigue que $E_n$ converge. Para acotar $x_n$ de $E_n$ nota de que la definición de $E_n$ (la ecuación de una elipse) nos permite escribir $x_n - x_{n-1} = \sqrt{E_n}\cos(\phi_n)$ e $x_n + x_{n-1} = \sqrt{\frac{E_n}{F_n}}\sin(\phi_n)$ para algunos ángulo de $\phi_n$. Así

$$x_n^2 = \frac{E_n}{4}[\cos(\phi_n) + \frac{1}{\sqrt{F_n}}\sin(\phi_n)]^2$$ La maximización de la mano derecha sobre $\phi_n$ nos da $$x_n^2 \leq \frac{E_n}{4}\left[1 + \frac{1}{F_n}\right] = E_n\cdot \frac{n}{n-1}$$ Desde $\frac{E_n}{F_n}$ está disminuyendo tenemos $E_n \leq F_n \frac{E_2}{F_2} = 8F_n$y $$x_n^2 \leq \frac{8n}{3n+1} \leq \frac{8}{3}$$ Es posible mejorar el constante con un poco de computación numérica (el uso de $n=5$ en lugar de $n=2$ cuando delimitador $E_n$) de la mejor manera posible una $\frac{9}{4}$ (para los que tenemos igualdad de $n=3$). La mejor asintótica obligado sería ligeramente menor que $2$ (mejor posible en el sentido de que $x_n^2 \approx 2$ podría ocurrir infinidad de veces).

Answer 3

(Demasiado largo para un comentario)

Deje $S_0 = 0, \ S_n = \sum_{k=1}^n x_k.$ Luego de la aplicación de la sumación por partes a la fórmula

$$ x_{n+1}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{k}-\sum_{k=1}^{n-1}x_{k}$$

los rendimientos de la ecuación (para $n\geq 2$)

$$ x_{n+1} = 1 + \frac{S_n}{n} - S_{n-1} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{S_k}{k(k+1)}$$

La adición de $S_n$ a ambos lados de esto también da

$$S_{n+1} = 1 + \frac{S_n}{n} + x_n + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{S_k}{k(k+1)}$$

Traté de usar estas ecuaciones junto con inductivo hipótesis de la forma $S_{n-1} \in [a,b] , x_n \in [c,d]$ a mostrar que $x_{n+1}, S_{n+1}$ debe también se encuentran en los mismos límites. Mientras que usted puede conseguir muy cerca, casi nunca funciona y he convencido a mí misma de que este método no puede tener éxito, no importa con decisiones que tomamos para $a,b,c,d.$

Sin embargo, utilizando un sistema establecido un límite $|x_n| \leq M$ (como el de Stefano demostrado anteriormente) entonces podemos probar inductivamente que $S_n$ es también limitada.

Conjetura - La secuencia de $S_n$ se aproxima a un límite de $L,$ e $$L = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{S_n}{n(n+1)} \approx 1.953053682$$ Un corolario de esto es que $x_n \to 0,$ que parece que lo hacen muy, muy lentamente.