Puede $L^{2}$ ser representado como un espacio de funciones (no de clases de equivalencia)?

Question

Deje $X$ ser el espacio vectorial de todos los Lebesgue-medible funciones de $f:\left[a,b\right]\rightarrowℝ$ tal que $\int^{b}_{a}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx<\infty$ (Lebesgue la integral). Entonces podemos definir una relación de equivalencia en $X$ como sigue: $f \cong g$ si $f(x)=g(x)$ en casi todas partes en $\left[a,b\right]$. Después construimos clases de equivalencia $\tilde{f}=\{g\in X:f\cong g\}$, y el espacio vectorial de estas clases de equivalencia es $L^{2}[a,b]$, en el cual se define en la norma $||\tilde{f}||_{1}=\sqrt{\int^{b}_{a}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx}$ (Lebesgue la integral). Ahora algunas de estas equivalencias clases son bastante especial: la de contener una función continua en ellos, así que esta es la elección natural para un representante de la clase de equivalencia. Vamos $D\subseteq L^{2}[a,b]$ ser el subespacio que contiene a estos especiales de clases de equivalencia. Mi pregunta básica es, si queremos asignar las clases de equivalencia en $D$ su continua de representantes, lo que son los naturales, los representantes de las otras clases de equivalencia?

Podemos hacer esto de manera más precisa. Deje $C[a,b]$ ser el espacio vectorial de las funciones continuas $f:\left[a,b\right]\rightarrowℝ$, dotado de una norma $||f||_{2}=\sqrt{\int^{b}_{a}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx}$ (Riemann o la integral de Lebesgue). Entonces la norma de finalización de este espacio es el hecho de $L^{2}[a,b]$. El resultado de todo esto es que el $D$ es denso en $L^{2}[a,b]$, y tenemos una norma-el respeto de isomorfismo $T:(D,||\cdot||_{1})\rightarrow(C[a,b] , ||\cdot||_{2})$ definido por $T(\tilde{f})\in \tilde{f}$ (de la asignación de cada elemento de $D$ su continua representante). Así que ahora la pregunta es, ¿existe un continuo de extensión lineal $S$ de % de $T$ definido en todos los de $L^{2}[a,b]$ tal que $S|_{D}=T$ e $S(\tilde{f})\in \tilde{f}$ ? Bien, $T$ es un almacén de transformación lineal (con el operador de la norma 1) definida sobre un subespacio denso, por lo que cumple todas las condiciones de la BLT teorema de que el hecho de que su codominio no es un espacio de Banach. Por lo tanto tenemos que expandir $C[a,b]$ a un mayor subespacio de $X$, por lo que el codominio de $T$ se hace completa.

Hay dos posibles maneras de hacer esto, dependiendo de si definimos la norma $||\cdot||_{2}$ en términos de Riemann o integrales de Lebesgue. Si hacemos uso de las integrales de Riemann, necesitaríamos un subespacio de $X$ consta de Riemann-integrable funciones, por lo que tendríamos que responder a la siguiente con el fin de establecer la integridad: si $f_{n}\rightarrow f$ respecto a la de la $||\cdot||_{2}$ (donde $f$ no necesita ser continua), es $f$ necesariamente Riemann integrable? (Mi primer instinto es no, porque de Riemann-integrabilidad requiere acotamiento, y usted puede tener una secuencia de funciones continuas con el aumento constante de los límites, de modo que el límite es ilimitado). Si utilizamos integrales de Lebesgue, que sería necesario para asegurarse de que dos elementos distintos del subespacio no han distancia cero, por lo que tendríamos que responder la siguiente: si $f_{n}\rightarrow f$ e $g_{n}\rightarrow g$ con respecto al $||\cdot||_{2}$ norma (donde $f$ e $g$ no necesita ser continua) y $f(x)=g(x)$ en casi todas partes en $[a,b]$, entonces se $f$ e $g$ necesariamente la misma función? (De nuevo, me temo que la respuesta es no, porque tal vez usted puede tener una secuencia de funciones continuas que converge a una función con una discontinuidad removible).

Sé que he incluido una gran cantidad de contorneado detalle, pero mi pregunta fundamental es relativamente simple: podemos sustituir las clases de equivalencia en $L^{2}[a,b]$ natural con funciones de representación, el uso continuo de representantes, cuando sea posible? O para decirlo de otra manera: ¿existe un subespacio $Y$ de % de $X$ contiene $C[a,b]$, en la cual se puede definir una norma que va a hacer es isomorfo a $L^{2}[a,b]$?

EDIT: Como Gerald ha señalado, de una manera más simple frase, mi pregunta es que quiero hacer un levantamiento de $L^{2}[a,b]$ o, más generalmente,$L^{2}(ℝ^{3})$.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Gracias de Antemano.

Answer 1

Sí y no.

El sí es la parte de Zorn lema: consideremos el conjunto de todos los subespacios $L\supset C[a,b]$ en el espacio vectorial de medir cuadrado integrable funciones de tal manera que no hay dos funciones en $L$ son equivalentes parcialmente ordenado por la inclusión. Desde la unión de cualquier linealmente ordenado de la cadena de dichos subespacios es el subespacio de nuevo, tenemos una máxima tal subespacio $L$. Es fácil comprobar que cada cuadrado integrable función de $f$ es equivalente a alguna función en $L$ (de lo contrario $\text{span\,}(L,f)$ es mayor subespacio).

La ninguna parte ha sido escrita por Simon: no existe el subespacio es más razonable o más fáciles de poner las manos en que la base de Hamel $\mathbb R$.

Answer 2

Un "lifting" es exactamente una elección de un elemento de cada clase de equivalencia. Cuando se hace de $L^\infty$, desea no sólo de las combinaciones lineales de los representantes de los representantes, sino también de los productos. Hay una literatura sobre esta cuestión. Por ejemplo:

Temas en la Teoría de la Elevación (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 2. Folge) por Alexandra Ionescu Tulcea y C. Ionescu Tulcea

También se encuentra en el libro: en un cierto sentido preciso (que no recuerdo) que se levanta es imposible para $L^p$ con $p<\infty$.

Answer 3

Una forma parcial de responder a su última pregunta podría ser la siguiente. Para cada una de las $f\in L^2(a,b)$, primera asociar su Lebesgue primitivo $F(x)=\int_a ^x f(t)dt$, a continuación, defina $Tf$ como uno de los cuatro Dini derivados de $F$, por ejemplo, $$ Tf(x)=\limsup _{h\to 0^+}h^{-1}(F(x+h)-F(x)).$$ A continuación, $Tf=Tg$ todas partes si $f=g$ en casi todas partes, $Tf=f$ en casi todas partes, y $Tf$ es continua si $f$ es equivalente a una función continua. Así, el mapa de $T$ asociados a todos los miembros de una clase de equivalencia en $L^2$ la misma función, que es la continua representante de la clase cuando existe. Una ventaja adicional es que el método es 'constructivo'.

Answer 4

Así, en general, existe un sentido en el que tu pregunta puede ser contestada en forma afirmativa. X = L^2 es un espacio de Banach, y cada espacio de Banach X se puede representar de forma lineal, y isométricamente como un subespacio de las funciones continuas en un compacto Hausdorff espacio K. Los puntos de K son la lineal continua y funcionales en X. a lidiar con el punto functopns, no de clases de equivalencia, sino que han ampliado considerablemente el espacio de puntos.