Que clase de asignación de grupo de representaciones provienen de la geometría algebraica?

Question

Deje $\Gamma_g$ ser la clase de asignación de grupo de un cerrado orientado a la superficie de la $\Sigma$ de género $g$. Hay una natural surjection $t \colon \Gamma_g \to \mathrm{Sp}(2g,\mathbf Z)$ que envía una clase de asignación a la inducida por la acción en $H^1(\Sigma,\mathbf Z)$. Componer $t$ con la representación de la simpléctica grupo produce un gran número de representaciones lineales de $\Gamma_g$.

Estos son sólo una pequeña fracción de todas las representaciones de la asignación de los grupos de la clase. Otros, por ejemplo, puede ser obtenido a partir de 3D TQFTs o de diferentes construcciones que involucran inferior central de la serie. Mi pregunta es, sin embargo, si el simpléctica representaciones son los únicos que pueden ser definidos "algebro-geométricamente".

Déjeme preguntarle una cuestión más concreta. Una representación de $\Gamma_g$ es el mismo que el de un sistema local en el espacio de moduli de curvas de género $g$, $M_g$. Para una representación que los factores a través de $\mathrm{Sp}(2g,\mathbf Z)$ este sistema local subyace un polarizado de la variación de la estructura de Hodge, ya que se tira de un PSDV en el Shimura variedad parametrización un principalmente polarizada abelian variedades de género $g$. Es el recíproco es cierto - si un sistema local (con $\mathbf Q$ coeficientes) en $M_g$ subyace la PSDV, es isomorfo a uno de los simpléctica sistemas locales?

Answer 1

Dan,

Aunque yo no estoy muy activo en el mes, he pensado que me gustaría hacer un par de comentarios, ya que tu pregunta es interesante (y usted no es anónimo).

El papel de Looijenga que se hace referencia en Igor respuesta muestran que hay "algebro-geométrico" las representaciones de $\Gamma_g$ que no factor a través de $Sp(2g,\mathbb{Z})$. En resumen, la toma de un número finito de abelian [pero esto no debería ser esencial] Galois topológico cubriendo $\tilde \Sigma\to \Sigma$ y se ve en el índice finito subgrupo $\tilde \Gamma_g\subset \Gamma_g$ de los elementos que eleva a $\tilde \Sigma$ y la ley de trivialmente en el grupo de Galois. El punto es que $\tilde \Gamma_g$ actuará en $H^1(\tilde \Sigma)$, y de esta manera se consigue nuevas representaciones (del subgrupo, pero siempre se puede inducir a $\Gamma_g$). Para ver que esto viene de un PSDV sobre la pila de $M_g$, considere la posibilidad de los módulos de la pila de $\tilde M$ parametrización de los mapas de $f:\tilde C\to C$ de las curvas que topológicamente el mismo que $\tilde \Sigma\to \Sigma$. Tenemos un mapa de $\pi:\tilde M\to M_g$ envío de $\tilde C\to C$ a $C$. Deje $V$ ser el VHS $\tilde M$ con $H^1(\tilde C)$ como es la fibra. A continuación, $\pi_*V$ es un VHS $M_g$, lo que da lugar a Looijenga del.

Si usted se relaja "proviene de la geometría algebraica" para permitir monodromies de motivic variaciones de la mezcla de estructuras de Hodge, y no veo por qué no, entonces hay más posibilidades interesantes conseguido mirando la (en general) los espacios singulares de semistable vector de paquetes sobre la curva universal de $M_g$.

Answer 2

Kontsevich construyó una familia de variedades más espacio de moduli con interesantes cohomology en la dimensión media. No creo que nadie demostró que no es el simpléctica representación, pero Kontsevich conjeturó que es fiel.

Answer 3

Ver:

En una función en la clase de asignación de grupo de una superficie de género 2 Ryoji Kasagawa (Topología y sus Aplicaciones, 2000), y la estrecha relación del hermoso papel de Looijenga. (Prym Representaciones de la Asignación de los Grupos de la Clase, Geom. Ded. 1997).