En el lenguaje de Richard Taylor 2004 (ampliado) de ICM artículo ("Representaciones de Galois", Annales de la faculté des sciences de Toulouse (2004) Tomo XIII, no. 1, 73-119), la conjetura es la siguiente
Conjetura: (Fontaine-Mazur) Supongamos que $$R\colon G_{\mathbf{Q}}\rightarrow \mathrm{GL}(V),$$ es una irreductible $\ell$-ádico la representación que se unramified a todos, pero un número finito de números primos y con el $R|_{G_{\mathbf{Q}_\ell}}$ de Rham. Entonces no es un buen variedad proyectiva $X/\mathbf{Q}$ y enteros $i\ge 0$ e $j$ tal que $V$ es un subquotient de $H^i(X(\mathbf{C}),\overline{\mathbf{Q}}_\ell(j))$. En particular, $R$ es puro de algo de peso $w\in \mathbf{Z}$.
(aquí se $G_K$ significa absoluta galois grupo de $K$ etc.) La noción de de Rham representación es bastante largo, que se puede encontrar por ejemplo en las notas de la conferencia de la O. Brinon y B. Conrad aquí, y ver loc. cit. para las explicaciones de las otras condiciones. Las referencias para la conjetura se Fontaine (J. M. Fontaine hablar en "Mathematische Arbeitstagung De 1988", Max-Planck-Institut für mathematik preprint no. 30 de 1988) y Fontaine-Mazur
Pregunta: ¿Cuál es el estado actual de esta conjetura? ¿Cuáles son los resultados conocidos en su dirección?
Parece ser que hay una gran cantidad de trabajos de investigación publicados en el último número de años en este tema. Agradecería si alguien sería capaz de presentar algún tipo de paisaje áspero de los resultados relacionados con la conjetura.
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Edit: En un Febrero. 2015 encuesta de artículo de C. M. Sorensen aquí en la Breuil-Schneider conjetura, no es una descripción (en el §1) de la contribución de M. Emerton, F.-M. conjetura junto con un breve esbozo del método de prueba.