Estado de Fontaine-Mazur conjetura

Question

En el lenguaje de Richard Taylor 2004 (ampliado) de ICM artículo ("Representaciones de Galois", Annales de la faculté des sciences de Toulouse (2004) Tomo XIII, no. 1, 73-119), la conjetura es la siguiente

Conjetura: (Fontaine-Mazur) Supongamos que $$R\colon G_{\mathbf{Q}}\rightarrow \mathrm{GL}(V),$$ es una irreductible $\ell$-ádico la representación que se unramified a todos, pero un número finito de números primos y con el $R|_{G_{\mathbf{Q}_\ell}}$ de Rham. Entonces no es un buen variedad proyectiva $X/\mathbf{Q}$ y enteros $i\ge 0$ e $j$ tal que $V$ es un subquotient de $H^i(X(\mathbf{C}),\overline{\mathbf{Q}}_\ell(j))$. En particular, $R$ es puro de algo de peso $w\in \mathbf{Z}$.

(aquí se $G_K$ significa absoluta galois grupo de $K$ etc.) La noción de de Rham representación es bastante largo, que se puede encontrar por ejemplo en las notas de la conferencia de la O. Brinon y B. Conrad aquí, y ver loc. cit. para las explicaciones de las otras condiciones. Las referencias para la conjetura se Fontaine (J. M. Fontaine hablar en "Mathematische Arbeitstagung De 1988", Max-Planck-Institut für mathematik preprint no. 30 de 1988) y Fontaine-Mazur

Pregunta: ¿Cuál es el estado actual de esta conjetura? ¿Cuáles son los resultados conocidos en su dirección?

Parece ser que hay una gran cantidad de trabajos de investigación publicados en el último número de años en este tema. Agradecería si alguien sería capaz de presentar algún tipo de paisaje áspero de los resultados relacionados con la conjetura.

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Edit: En un Febrero. 2015 encuesta de artículo de C. M. Sorensen aquí en la Breuil-Schneider conjetura, no es una descripción (en el §1) de la contribución de M. Emerton, F.-M. conjetura junto con un breve esbozo del método de prueba.

Answer 1

Es cierto si $V$ es de dimensión 1, esencialmente por la clase de teoría de campo (como usted está considerando sólo las representaciones de $G_{\mathbb Q}$). De lo contrario, es todavía muy abierto por las siguientes razones.

Si $n\geq 2$, la mejor herramienta que tenemos para el estudio de $G_{\mathbb Q}$-representaciones se llama así a la modularidad de elevación de teoremas. Estos teoremas tomar como hipótesis la hipótesis de la Fontaine-Mazur conjetura además de las condiciones adicionales (normalmente, los supuestos en los residuos de la irreductibilidad de $\rho$ y más fuerte que las condiciones en $\rho|G_{\mathbb Q_{\ell}}$ de de Rham) y demostrar que $\rho$ entonces viene un automorphic representación $\pi$ de % de $\mathbf{G}(\mathbb A_{\mathbb Q}^{(\infty)})$ (el finito adelic puntos de una reductora grupo $\mathbf{G}$). Sin embargo, excepto en casos muy raros, no sabemos que tales representaciones de Galois (automorphic representaciones de galois, para abreviar) se producen en la cohomology de suave variedades proyectivas, por lo que incluso cuando se aplican, la total conclusión de la Fontaine-Mazur conjetura es en gran medida fuera de su alcance.

Peor aún, observa como anteriormente mencioné que la modularidad de elevación teoremas necesarios algunos complementaria local supuestos en $\ell$. Uno de ellos es que la Hodge-Tate pesos de $\rho|G_{\mathbb Q_{\ell}}$ son distintos. Esto sucede por una buena razón: incluso cuando $n=2$, hay algunos automorphic representaciones de Galois (conjecturally la satisfacción de las hipótesis de la Fontaine-Mazur conjetura) creemos que existen pero que no saben cómo construir o estudio, a saber, la automorphic Galois representación adjunta algebraicas Maas formas (aquellos con autovalor $1/4$). Una prueba completa de la Fontaine-Mazur conjetura incluso para $n=2$ tratar con las personas, y este es en la actualidad aparentemente fuera de su alcance.

Un poco de buenas noticias después de este pesimismo de evaluación. Si $n=2$ y si usted está bien con ignorando automorphic representaciones de Galois conectado a Maas formas (en particular si se supone que la Hodge-Tate pesos son distintas), entonces la hipótesis complementaria necesaria para establecer el total de Fontaine-Mazur conjeturas son más bien leves. Yo no pretendo saber la vanguardia, pero el siguiente teorema duda debe ser verdadera.

Suponga $\rho:G_{\mathbb Q}\longrightarrow\operatorname{GL}_{2}(\bar{\mathbb Q}_{\ell})$ satisface las siguientes hipótesis. 1) $\rho|G_{\mathbb Q_{\ell}}$ es de Rham y su Hodge-Tate pesos son distintos. 2) $\bar{\rho}$ es absolutamente irreductible y extraño. 3) $\bar{\rho}|G_{\mathbb Q_{\ell}}$ no es ni la suma de dos caracteres idénticos ni una vuelta de tuerca de una extensión de $\bar{\chi}_{cyc}$ por 1. A continuación, $\rho$ se produce en el cohomology de lisa variedad proyectiva (es decir, la desingularization de algunos Kuga-Sato variedad).

Esta es la culminación del trabajo de muchas personas; siendo la más reciente la de Pierre Colmez, Mateo Emerton y Marca de Kisin.

Answer 2

Estoy lejos de ser un experto en esto, y sin duda hay usuarios aquí más capacitado para responder de mí, pero por ahora, aquí hay una pregunta de respuesta corta.

Esto se conoce en el caso de los dos representaciones tridimensionales $R:G_Q\rightarrow GL_2(\bar{Q}_\ell)$, debido a Emerton y Kisin.

Kisin demuestra el resultado bajo el adicional de la hipótesis de que la $R$ es impar y tiene distintas Hodge--Tate pesos en $\ell$ (el mismo $\ell$ como el residuo característico del coeficiente de anillo de $R$). Por "tener distintas Hodge--Tate pesos en $\ell$", me refiero a que la restricción de $R$ a la descomposición del grupo en $\ell$ $D_\ell\simeq Gal(\bar{Q}_\ell/Q_\ell)$ tiene distintas Hodge--Tate pesos. No estoy completamente seguro de que en esta parte, pero creo que ya se ha demostrado (por Calegari si recuerdo correctamente; tal vez en algunos pequeños, casi siempre satisfecho hipótesis) de que no hay aún representaciones con distintas Hodge--Tate pesos en $\ell$, eliminando el requisito de que $R$ ser impar en casi todos los casos.

No estoy tan familiarizado con Emerton de la contribución. Sin duda, Kisin del papel requiere en el local-global de compatibilidad resultado de Emerton y algunos posteriores resultado por Colmez; de lo contrario, uno se ve obligado a exigir, además, que el $R$ es potencialmente semistable sobre algunos abelian extensión. Tengo una vaga idea de que tal vez (en el mismo local-global de compatibilidad de papel) Emerton da una independiente de la prueba de la misma 2-dimensional resultado, pero estoy aún menos familiarizados con esto.

Supongo que debería decir que los dos principales trabajos que he mencionado son La Fontaine--Mazur conjetura para $GL_2$ por Marca Kisin, y Local-global de compatibilidad en el $p$-ádico programa de Langlands para $GL_2$ por Matt Emerton.

Al mejor de mi conocimiento, no ha habido ningún progreso sustancial en el resultado de mayores dimensiones de las representaciones. Este me parece ser debido al hecho de que esencialmente no hay resultados para a $p$-ádico local Langlands la correspondencia de los grupos de $GL_2$, pero que no se basa en otra cosa que conjeturas.