¿Qué sucede si usted tira de todo, pero el "entre" relación en espacios métricos

Question

Dado un espacio métrico $(X,d)$ y tres puntos de $x,y,z$ en $X$, dicen que $y$ está entre los $x$ e $z$ si $d(x,z) = d(x,y) + d(y,z)$, y escribir $[x,z]$ para el conjunto de puntos entre $x$ e $z$.

Obviamente, tenemos

1. $x,z\in[x,z]$;
2. $[x,z]=[z,x]$;
3. $y \in [x,z]$ implica $[x,y] \subseteq [x,z]$;
4. $w,y \in [x,z]$ implica: $w\in [x,y]$ fib $y \in [w,z]$.

Mi pregunta:

Tiene la familia de objetos con una axiomática "intervalo de estructura" $[\bullet,\bullet]:X \times X \to \mathcal{P}(X)$ satisfactorio aproximadamente a las condiciones anteriores se ha estudiado en algún lugar?

Answer 1

Hay un amplio cuerpo de trabajar en esto en conexión con el clásico De Bruijn–Erdős teorema.

De Bruijn–Erdős Teorema. Cada conjunto de $n$ puntos en la plano (no todas situadas en la misma línea) determinar, al menos, $n$ líneas.

Hay una hermosa conjetura de Chen y Chvátal que el De Bruijn–Erdős teorema realmente se sostiene en cada espacio métrico, donde las líneas se definen utilizando la noción de intermediación que usted describe. Es decir, dado un espacio métrico $M$ y dos puntos de $a,b \in M$, la línea determinada por $a$ e $b$ es el conjunto de puntos de $c$ tal que $c$ entre $a$ e $b$o $a$ entre $c$ e $b$o $b$ entre $a$ e $c$. Tenga en cuenta que esta definición se reduce a la noción habitual de las líneas si queremos utilizar la distancia Euclídea.

Chen-Chvátal Conjetura. Cada conjunto de $n$ puntos en un espacio métrico (no todos de los cuales se encuentran en la misma línea) determinar, al menos, $n$ líneas.

Si buscas en Google 'Chen-Chvátal Conjetura' usted encontrará muchos de los resultados, incluyendo algunos que se centran en la combinatoria de los aspectos de la intermediación.

Answer 2

Me recuerda de W. A. Coppel del libro que se ve en estos tipos de estructuras de una manera ligeramente diferente punto de vista, a saber, sistemas de cierre. Realmente no puedo encontrar el libro ahora mismo, pero he aquí un rápido resumen de lo que está pasando.

Dado un conjunto $X$ junto con una función arbitraria $[\bullet,\bullet] : X^2 \rightarrow \mathcal{P}(X),$ vamos a llamar a $A \subseteq X$ cerrado si y sólo si para todos los $a,b \in A$, tenemos que $[a,b] \subseteq A$. Es fácil demostrar que una intersección arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada, o en otras palabras, la colección de conjuntos cerrados formas de Moore de la familia. Esto nos da un cierre de operador en $\mathcal{P}(X)$, lo que hace que $(X,\mathcal{P}(X))$ en un sistema de cierre. Esto significa que la colección de conjuntos cerrados formas un completo entramado dado por $$\bigwedge_{i \in I} C_i := \bigcap_{i \in I} C_i, \qquad \bigvee_{i \in I} C_i := \mathrm{cl}\left(\bigcup_{i \in I} C_i\right).$$

Si nosotros, además, asumir que $[a,a] = \{a\},$ que es verdad en un espacio métrico arbitrario (aunque no estoy seguro de si esto se deduce a partir de sus axiomas), entonces podemos demostrar que los únicos son conjuntos cerrados. Por lo tanto nos permite considerar la expresión $\{a\} \vee \{b\}$ en la mencionada red. Este conjunto claramente incluye a $[a,b]$, y yo creo que sus axiomas probablemente implica que estos conjuntos son iguales. Ergo el Moore de la familia solo nos permite recuperar el original entre la relación.

Creo que si se toman los tres primeros axiomas que has escrito, y agregar en el axioma $[a,a] = \{a\},$ el resultado axioma lista debe proporcionar una caracterización completa de sistemas de cierre $X$ en el que en primer lugar, cada singleton es cerrado, y en segundo lugar, para todos los $A \subseteq X$, tenemos que $A$ es cerrado si y sólo si para todos los $a,b \in A$, tenemos $\{a\} \vee \{b\} \subseteq A$. Pero usted debe comprobar esto de forma explícita en lugar de tomar mi palabra para ella, porque ahora esto es solo un presentimiento.

Yo también voy a comentar que se pueden aprender cosas interesantes mirando parcialmente ordenado de conjuntos y la definición de $[a,b] := \{x \in X : a \leq x \leq b\} \cup \{x \in X : b \leq x \leq a\}.$

Answer 3

Esto es más de una prolongada observación de una respuesta completa. Mi mensaje es: La propiedad $[x,x]=\{x\}$ no necesariamente, pero siempre se puede hacer es mantener al tomar un cociente natural.

Sus axiomas no implican $[x,x]=\{x\}$, así que tienes que añadir si lo desea. Un pseudometric (por ejemplo, un seminorm) va a satisfacer sus axiomas, y $[x,x]$ es el conjunto de puntos a distancia cero de $x$, y este conjunto puede tener cualquier tamaño.

En un pseudometric espacio que usted puede tomar el cociente por la relación $x\sim y\iff d(x,y)=0$ y se obtiene un espacio métrico. Resulta que el mismo funciona con el intervalo de sistemas.

Podemos definir una relación $\sim$ a $X$ , de modo que $x\sim y\iff x\in[y,y]$. Esta es una relación de equivalencia:

• Reflexividad: Axioma 1.
• Simetría: Por axiomas 1 y 2 $x,y\in[y,x]$. Por lo tanto axioma 4 dice $x\in[y,y]\iff y\in[x,x]$.
• Transitividad: Supongamos $x\sim y\sim z$. Por el axioma 3 $x\sim y$ e $y\sim z$ implican $[y,x]\subset [y,y]$ e $[z,y]\subset [z,z]$. Por axiomas 2 y 3 $[y,y]\subset[z,y]$. Por lo tanto $x\in[y,x]\subset[y,y]\subset[z,y]\subset[z,z]$.

Entonces podemos tomar el cociente del espacio de $X/{\sim}$. Para evitar confusiones, vamos a denotar por $(x)$ el cociente conjunto de $x\in X$. (De hecho, $(x)=[x,x]$, pero me parece más limpio para mantener la notación por separado.) A continuación, declarando $(x)\in[(y),(z)]\iff x\in[y,z]$ define un intervalo de estructura en $X/{\sim}$. Para ver esto, tenemos que comprobar dos cosas:

1. $[x,y]\subset[x',y]$ cuando $x\sim x'$. (La inversa de la inclusión y la variación de ambos $x$ e $y$ seguir fácilmente.)

   Prueba: Desde $x\in[x',x']\subset[x',y]$, de hecho hemos $[x,y]\subset[x',y]$.

2. $x\in[z,y]\implies[x,x]\subset[z,y]$.

   Prueba: Desde $x\in[z,y]$ e $x\in[x,y]$, aplicando el axioma 3, dos veces al da $[x,x]\subset[x,y]\subset[z,y]$.

En el cociente de la estructura que evidentemente ha $[(x),(x)]=\{(x)\}$.