Es esta 1974 afirmación sigue siendo válida?

Question

En G. F. Simmons' Ecuaciones Diferenciales libro (pág.141), la siguiente afirmación es: "... Como una cuestión de hecho, no se conoce ningún tipo de segundo orden de la ecuación diferencial lineal - aparte de aquellos con coeficientes constantes, y los reducible a estos por los cambios de la variable independiente, que puede bee resuelto en términos de funciones elementales."

Acerca de 36 años han pasado desde que esta declaración se publicará apariencia. Es el comentario todavía true o false, incluso antes?

Mi motivación es el análogo de la teoría de las integrales de finito de combinaciones de funciones elementales, donde se sabe que ciertas grande e importante de las clases de funciones cuya integral es expresable como una función primaria( o como finita de la combinación de estos). Como sabemos, existe una cierta clasificación completa como para que la integral finita combinación de primaria función de una variable se puede expresar como una combinación finita de funciones elementales.(Las referencias son Piskunov del libro y este ). Entonces me parece que es natural para el cuidado de si tales teoremas existía para ecuaciones diferenciales.

Gracias.

Answer 1

Esta afirmación es no válido. El gran avance fue el siguiente escrito:

MR0839134 (88c:12011) Kovacic, Jerald J. Un algoritmo para la resolución de segundo orden lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales. J. Simbólico Comput. 2 (1986), no. 1, 3-43. 12H05 (34A30)

Más tarde, M. Petkovsek extendido las ideas a segundo orden de la diferencia de las ecuaciones.

Answer 2

Creo que el questionner podría estar dirigida a la matemática sujeto llamado Diferencial de la Teoría de Galois.

Un primer accesible la lectura podría ser J. F. Ritt "la Integración en términos finitos. Liouville la teoría de la primaria métodos", Columbia University Press, 1948.

La correspondiente página de la wikipedia podría ser otro punto de partida. http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_Galois_theory

Answer 3

Si permitimos que las transformaciones tanto de la independiente y la variable dependiente, entonces la afirmación es tautologically verdadero. Dicen que usted tiene un lineal de segundo orden ODA para una función y(x). Deje $y_1(x)$ e $y_2(x)$ ser soluciones linealmente independientes. Definir $t=y_2(x)/y_1(x)$, e $z=y/y_1$. En las variables transformadas, la solución general es $z=c_1+c_2t$, de manera que la ecuación es $z''(t)=0$. Por supuesto, esto no es útil para la resolución de ecuaciones, ya que tenemos que saber las soluciones para definir la transformación.

La declaración citada se centra en la variable independiente, lo cual me parece extraño. Si tenemos la ecuación diferencial solución en términos de funciones elementales, y nos pusimos $y=z\phi(x)$ donde $\phi$ es un conocido de la primaria función, obtenemos otra ecuación solución en términos de funciones elementales. Sin embargo, este es un cambio de la variable dependiente, no de la variable independiente. También, Denis señala con razón que cualquiera de las dos funciones puede ser hecho en soluciones de segundo orden de la educación a distancia.