Plano frente a etale cohomology

Question

Aunque la definición de etale ($\ell$-adic) cohomology es miedo, me tienen al menos cierta intuición sobre cómo debe comportarse: por ejemplo, cuando tiene sentido, creo que debe ser `similar" a la clásica (en singular) cohomology.

Estoy en una situación en la que me pregunto si me puede generalizar un resultado en el ámbito de la etale cohomology mediante el uso de planos cohomology lugar. (Por ejemplo, quiero ser capaz de tener en cuenta las variedades más característicos 2 y tomar cohomology con coeficientes en la gavilla $\mu_2$, como un análogo de la situación en la que uno de los 2 se sustituye por $p \neq 2$.)

Por desgracia, yo no tengo la intuición alguna por cómo plana cohomology debe comportarse, así que estoy buscando modelos mentales, slogans, etc. Una respuesta de "no uso plana cohomology porque es imposible trabajar con" también sería útil (aunque un poco decepcionante). Por el bien de lo concreto, aquí están algunas preguntas específicas (pero mi interés no se limita a estos)

1. Puedo esperar análogos de familiares de cosas agradables, tales como la dualidad de Poincaré y el ciclo de la clase de los mapas?
2. Si esto se comportan igual (o incluso coincidir con) etale cohomology en `bonito" de los casos?
3. ¿Cuáles son los no-ejemplos triviales donde plana cohomology puede ser, efectivamente, calculada? Especialmente ejemplos en los que el cálculo no es formalmente mostrando que debe ser el mismo que etale cohomology y, a continuación, calcular el último.
4. Debo esperar a tener una buena teoría de la característica de las clases?

Answer 1

Aquí es un buen ejemplo de algunos patológicas de comportamientos que se destruyen todos sus sueños y esperanzas.

La reclamación. Deje $k$ ser un perfecto campo, y deje $X$ ser suave, adecuada, integral $k$-esquema. A continuación, el cohomology $H^1(X,\alpha_p)$ es $k^p$-espacio vectorial. En particular, sólo es finito si es $0$ o $k$ es finito.

Para una prueba, a ver este MO post.

La razón de esto es decepcionante es que $\alpha_p$ debe ser un edificable gavilla en el plano del sitio, y de étale cohomology esperamos que el cohomology de un edificable gavilla que ser finito. Pero no lo es!

Por otro lado, para $\mu_p$-coeficientes, tenemos una bastante bonita teoría, gracias a Milne aritmética teoremas de dualidad. El primer trabajo en esta dirección fue su Dualidad en el plano cohomology de una superficie, y esto ha sido ampliada y reescrito muchas veces. Algunas referencias ya estaban dadas en los comentarios; yo no soy consciente de que a los demás (pero que bien podría existir).

Hay muchas otras interesantes poleas para considerar que sólo las poleas representada por el grupo de esquemas sobre el campo de tierra. Pero no creo que es una agradable y teoría unificada de la misma que no es para étale cohomology.

Observación. Un buen conceptual observación es el hecho de que de plano cohomology puede ser calculada por la cuasi-finito plana sitio. Esto se discute en Milne étale cohomology libro, Ejemplo III.3.4. Así, aunque la plana sitio parece infinitamente más grande que el étale sitio (plana morfismos puede tener arbitraria dimensión relacionada), que de alguna manera no es tan grande como se podría pensar.