Contraejemplos a la diferenciación bajo el signo integral?

Question

Estoy explorando la diferenciación bajo el signo integral (yo quiero ser mucho más rápido y más seguro en la realización de esta tarea común). Así que una cosa que me interesa es la buena contraejemplos, donde ambas expresiones

$\frac{d}{dx} \int f(x,y)dy$

y

$\int \frac{\partial}{\partial x} f(x,y)dy$

existir en algún valor de x, pero no son iguales. Gracias de antemano.

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Aquí hay algunos de mis exploración hasta el momento.

Mi derivación para la conmutación de la derivada y la integral es como sigue:

$\frac{d}{dx} \int f(x,y)dy = \frac{d}{dx}\int f(a,y)+\int_a^x \frac{\partial}{\partial s}f(s,y)dsdy = \frac{d}{dx}\int \int_a^x \frac{\partial}{\partial s}f(s,y)dsdy$,

siempre f es absolutamente continua en la dirección x (utilizado FTC). A continuación, se proporcionan $\frac{\partial}{\partial s}f(s,y)$ es integrable en algunos rectángulo $[x,x'] \times \Omega$, podemos aplicar Fubini y cambiar el orden de integración,

$= \frac{d}{dx}\int_a^x \int \frac{\partial}{\partial s}f(s,y)dyds$.

A continuación, el uso de la FTC de nuevo, la primera integral y derivativo cancelar siempre que $\int \frac{\partial}{\partial s}f(s,y)dy$ es continua.

Por lo tanto, en total, la hipótesis que necesito para cambiar de integración de fin de se

1) f es absolutamente continua en la dirección x

2) df/da es integrable en un rectángulo donde un lado es un pequeño intervalo que contiene x, y el otro es el todo y la dirección.

3) $\int \frac{\partial}{\partial x} f(x,y)dy$ es continua.

4) y, por supuesto, el original de las expresiones se definen.

Este fue el caso más general, que podría ir. Las condiciones parecen desordenados y olvidable, así que me gustaría encontrar alguna mejor las condiciones en que podía utilizar en general, si es posible.

Condición 3) parecía que podría ser el más fácil de lanzar, pero he encontrado un contraejemplo donde todas las demás condiciones que se cumplen, pero que uno:

Sea y los enteros positivos y dy ser el recuento de medida, así que estamos tratando de mover de un tirón un suma y la derivada. Vamos

$f(x,y) = x$ para $\frac{1}{y+1} < x <\frac{1}{y}$ y cero en otro lugar.

Entonces vemos que la integral de la derivada de $f$ es $0$ a $x=0$ y la derivada de la integral es $1$ a $x=0$, proporcionando así un contraejemplo. Aquí las condiciones 1) y 3) no estaban satisfechos, pero el ejemplo podría ser fácilmente modificado para hacer 1) satisfecho.

Answer 1

Considere la posibilidad de $$f(x,y) = \cases{ \text{sgn}(x) \dfrac{x^2-y^2}{x^2} & for $0 < |y| < |x|$ \cr 0 & lo contrario }$$ A continuación, $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x,y)\ dy = 4 x/3$ para $-1 \le x \le 1$, lo $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \int_{-1}^1 f(x,y)\ dy = 4/3$, pero $\dfrac{\partial f}{\partial x} (0,y) = 0$ lo $\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{\partial f}{\partial x}(0,y)\ dy = 0$.

Answer 2

Esta es una pregunta interesante... que parece ser acerca de "cálculo", sino que pide una respuesta mejor que la que se podría dar en "cálculo". Y, de hecho, yo estaría a favor de convertir la pregunta en torno a que la respuesta a "¿Podemos intercambio?" "Sí, con una adecuada interpretación...", en lugar de "a Veces, pero a veces no."

Upvoted Bob Israel literal de contra-ejemplo! :)

Una más fácil analógico es "Clairault del teorema" (no estoy muy seguro de la veracidad de esta atribución) sobre la igualdad de mezcla de segunda parciales: funciones como $xy/(x^2+y^2)$ desigual mixto segunda parciales en $0$ ... pero, a partir de una distribución punto de vista de la mezcla de segundo parciales son absolutamente iguales. La "discrepancia" es en la atención acerca de pointwise valores. (Mientras tanto, también existe el opuesto peligro de pensar que "en casi todas partes 0" es operativamente $0$ para la distribución cálculos.)

Mi punto es que nos oughtn no diferenciar a menos que la diferenciación es una operación continua en todo el espacio de funciones, y nos oughtn no integrar a menos que la integración es un mapa continuo en adecuados espacios de funciones... de modo que la cuestión de intercambio sería inevitable... :)

(Una situación feliz es cuando el integrando es continuo compacto-compatible la función de la función con valores de los parámetros, y que diff n es un mapa continuo a partir de una función de espacio a otro, y luego un Gelfand-Pettis integral de discusión da la intercambiabilidad de las razones generales. Este tipo de cosas es la razón por la L. Schwartz poner un sorprendente énfasis en el punto de que lo que ahora llamamos "Schwartz", las funciones son funciones que admite una extensión lisa para un determinado $n$-esfera compactification de Euclídeo n-espacio. Así que, realmente, por ahora, si la situación se resiste a compactification y aplicación de Gelfand-Pettis ideas, tal vez no es un verdadero problema. Yo también nota que "Bochner" o "fuerte" (que parece significar "construido por analogía con las integrales de Riemann") las integrales de no superar estos problemas.)

Reprise: ciertamente, existen ejemplos de lo contrario el literal de la pregunta, pero me gustaría recomendar la revisión que se pregunta exactamente en la luz de la naturaleza de la contra-ejemplos. :)

Answer 3

Conjunto $$ f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3y}{(x^2+y^2)^2}, & {\rm if} \ x \not= 0 \ {\rm or } \ y \not= 0, \\ 0, & {\rm if } \ x = 0 \ {\rm and } \ y = 0, \end{casos} $$ Entonces la integral $$ F(x) = \int_0^1 f(x,y)\,{\rm d}y $$ puede ser calculado a la igualdad de $\frac{x}{2(1+x^2)}$ para todos los $x$ (marque $x = 0$ por separado). Esta es una función derivable para todos los $x$, con $$ F'(x) = \frac{1-x^2}{2(1+x^2)^2}. $$ En particular, $F'(0) = 1/2$. Sin embargo, $$ \frac{\partial}{\partial x}f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y(3y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^3}, & {\rm if } \ y \not= 0, \\ 0, & {\rm if } \ y = 0, \end{casos} $$ por lo $f_x(0,y) = 0$. Por tanto, la "ecuación" $$ \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^1 f(x,y)\,{\rm d}y = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\,{\rm d}y $$ no es válido en $x = 0$, donde el lado izquierdo es $1/2$ y el lado derecho es $0$. Un problema es que $f_x(x,y)$ no es una función continua de dos variables: a lo largo de la línea de $y = x$ tenemos $f_x(x,y) = f_x(x,x) = 1/(4x)$ para $x \not= 0$, que no convergen como $x \rightarrow 0$ aunque $f_x(0,0) = 0$ está definido.