¿Por qué la intersección siempre conserva las estructuras "cerradas"?

Question

En muchas áreas de las matemáticas se puede hablar de tipos de cierre: subconjuntos de conjuntos con operaciones binarias pueden ser cerrados bajo esa operación binaria, subconjuntos de espacios topológicos pueden ser cerrados, conjuntos de ordinales pueden ser cerrados.

Parece que hay un hilo conductor entre muchas de ellas: la intersección de estas estructuras es siempre una estructura del mismo tipo. Por ejemplo, si $A,B\subseteq(S,*)$ se cierran bajo la operación binaria $*$ entonces también lo es su intersección. A menudo podemos incluso decir más: la intersección arbitraria de subgrupos es un subgrupo, etc. La intersección de $<\kappa$ subconjuntos de clubes de $\kappa$ es el club, aunque el "ub" no es importante - la intersección puede ser probablemente arbitraria si sólo requerimos el cierre. La intersección de $\sigma$ -es una $\sigma$ -álgebra, aunque creo que esto es sólo una consecuencia del ejemplo de la operación binaria. Los filtros tienen la propiedad de intersección finita. La intersección de conjuntos cerrados en un espacio topológico es cerrada (uno podría ver esto simplemente como una consecuencia de De Morgan, pero creo que es similar a los otros ejemplos al ver los conjuntos cerrados como aquellos que contienen todos sus puntos límite en contraposición a los complementos de los conjuntos abiertos).

Muchos ejemplos de este tipo son muy, muy fáciles de demostrar, y a menudo se deducen directamente de las definiciones. Tanto es así que podría dudar de hacer cualquier comentario sobre ellos en primer lugar, si no fuera por mi incapacidad para identificar formalmente qué es exactamente lo que hay en todas estas estructuras que les obliga a tener esta propiedad de cierre por intersección. Y tal vez no sea nada en absoluto, y sólo esté eligiendo (después de todo, varias estructuras no están cerradas por intersección, como los conjuntos abiertos, la cardinalidad, etc.).

Así que mi pregunta: ¿Existe una propiedad de "cerrazón" generalizada que abarque estos ejemplos y otros más? ¿Tal vez la propiedad es más general que la intersección de conjuntos? He dado varios ejemplos de la teoría de conjuntos, pero eso se debe únicamente a mi exposición a las matemáticas, y no estoy preguntando sólo por los de la teoría de conjuntos. Quizá haya incluso nociones equivalentes de "intersección" y "cierre" fuera del contexto de la teoría de conjuntos.

Edición: Como usuario yoyostein mencionó, tal vez haya una perspectiva categórica al respecto. A riesgo de exponer mi grave falta de experiencia: mis pensamientos son definir un "morfismo de inclusión categórica" generalizando el morfismo de inclusión de un subconjunto a un conjunto. Entonces, fijando $A,B$ tomamos la categoría cuyos objetos $(f_{1},g_{1},X)$ consisten en estos mapas de inclusión $f_{1}:X\rightarrow A$ , $f_{2}:X\rightarrow B$ y cuyos morfismos son los diagramas conmutativos habituales. Entonces $A\cap B$ sería definitiva en esta categoría, por lo que estas estructuras "cerradas" serían realmente aquellas para las que existe esta construcción de intersección en sus respectivas categorías. ¿Hay alguna posibilidad de que esto vaya a alguna parte?

En la respuesta aquí usuario Stahl da una explicación categórica de por qué esto es así para muchas estructuras algebraicas. Desgraciadamente, no estoy lo suficientemente familiarizado con la teoría de las categorías como para decir si lo que Stahl ha escrito se generaliza a estructuras "menos algebraicas" como los espacios topológicos o los conjuntos de palos (en realidad, creo que esos son topológicos), pero supongo que en muchos casos las propiedades de las categorías que menciona se mantienen en otros lugares como en $\mathsf{Top}$ .

Answer 1

Muchos de estos ejemplos pueden generalizarse mediante la noción de cierre. Digamos que en su universo $U$ tienes un mapeo $\operatorname{cl}: \mathcal{P}(U) \rightarrow \mathcal{P}(U)$ con las propiedades que

i) $A \subseteq \operatorname{cl}(A)$ para todos $A$

ii) si $A \subseteq B$ entonces $\operatorname{cl}(A) \subseteq \operatorname{cl}(B)$ (monotonicidad.)

A continuación se definen los conjuntos "cerrados" $S$ sean aquellos para los que $\operatorname{cl}(S) = S$ . Por lo general, $\operatorname{cl}(S)$ se considera el objeto "generado" por $S$ . Por ejemplo, aparte del cierre habitual de la topología, $cl$ puede ser el tramo de vectores, o el subgrupo/subgrupo/submódulo/ $\sigma$ -subálgebra etc. generada por $S$ o los componentes conectados $S$ pertenece a, o el casco convexo de $S$ . Queremos ser capaces de combinar elementos de $S$ de varias maneras, y tomando $\operatorname{cl}(S)$ añadimos todos los elementos adicionales de $U$ para hacer lo que sea que necesitemos, pero no más.

Afirmo que si $A,B$ están cerradas, entonces $A \cap B$ está cerrado. Sea $A,B$ estar cerrado; entonces

$$\operatorname{cl}(A \cap B) \subseteq \operatorname{cl}(A)$$ $$\operatorname{cl}(A \cap B) \subseteq \operatorname{cl}(B)$$ por (ii), lo que implica $\operatorname{cl}(A \cap B) \subseteq \operatorname{cl}(A) \cap \operatorname{cl}(B)$ por definición, $\operatorname{cl}(A) = A$ y $\operatorname{cl}(B) = B$ Así que $\operatorname{cl}(A \cap B) \subseteq A \cap B$ . Además,

$$\operatorname{cl}(A \cap B) \supseteq A \cap B$$ por (i); así que $$\operatorname{cl}(A \cap B) = A \cap B.$$ Así que $A \cap B$ está cerrado. Y la misma prueba funciona para demostrar que las intersecciones de familias arbitrarias de conjuntos cerrados son cerradas.

A la inversa, si tenemos una familia de objetos "cerrados $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(U)$ que es cerrado bajo la intersección, entonces podemos definir $\operatorname{cl}(A) = \bigcap \{S \in \mathcal{F} | S \supseteq A\}$ . En este caso, $cl$ obedece claramente a (i) y (ii), y $\mathcal{F} = \{A | \operatorname{cl}(A) = A\}$ .

Answer 2

Respuesta corta : a operador de cierre es probablemente la noción que usted está mirando.

Definiciones . Sea $E$ sea un conjunto. Un mapa $X \to \overline{X}$ de ${\cal P}(E)$ a sí mismo es un operador de cierre si es extenso, idempotente e isotono es decir, si las propiedades se cumplen las siguientes propiedades para todos los $X, Y\subseteq E$ :

1. $X\subseteq\overline{X}$ (extenso)
2. $\overline{\overline{X}} = \overline{X}$ (idempotente)
3. $X\subseteq Y$ implica $\overline{X}\subseteq\overline{Y}$ (isotono)

Un conjunto $F\subseteq E$ es cerrado si $\overline{F} = F$ . Si $F$ está cerrado, y si $X\subseteq F$ entonces $\overline{X}\subseteq \overline{F} = F$ . De ello se desprende que $\overline{X}$ es el conjunto menos cerrado que contiene $X$ . Esto justifica la terminología cierre . En realidad, los operadores de cierre pueden caracterizarse por sus conjuntos cerrados.

Teorema . Un conjunto de subconjuntos cerrados para algún operador de cierre sobre $E$ es cerrado bajo una intersección (posiblemente infinita). Además, cualquier conjunto de subconjuntos de $E$ cerrado bajo intersección (posiblemente infinita) es el conjunto de conjuntos cerrados para algún operador de cierre.

Prueba . Sea $X\to \overline{X}$ sea un operador de cierre y que $(F_i)_{i\in I}$ sea una familia de subconjuntos cerrados de $E$ . Dado que un cierre es isotono, $\overline{\bigcap_{i\in I}F_i} \subseteq \overline{F_i} = F_i$ . De ello se desprende que $\overline{\bigcap_{i\in I}F_i} \subseteq \bigcap_{i\in I}F_i$ y por lo tanto $\bigcap_{i\in I}F_i$ está cerrado.

Dado un conjunto $\cal F$ de subconjuntos de $E$ cerrado bajo intersección, denótese por $\overline{X}$ la intersección de todos los elementos de $\cal F$ que contiene $X$ . Entonces el mapa $X\to \overline{X}$ es un operador de cierre para el que $\cal F$ es el conjunto de conjuntos cerrados.

Answer 3

Tal vez una razón "ingenua" pueda deberse a la interpretación de la intersección como "y". Si $x,y\in A\cap B$ entonces $x, y$ están en ambos $A$ y $B$ .

En virtud del hecho de que $x,y\in A$ solo, se garantiza (por la propiedad de cierre correspondiente) que $x\cdot y\in A$ , donde $\cdot$ es la operación binaria. De manera similar, $x\cdot y\in B$ . Por lo tanto, $x\cdot y\in A\cap B$ .

En cambio, para el caso de la unión, $x,y\in A\cup B$ puede darse el caso de que $x\in A$ mientras que $y\in B$ . Por lo tanto, no se garantiza (a priori) que $x$ y $y$ interactúan de forma compatible entre sí, ya que, para empezar, proceden de conjuntos diferentes.

Un fenómeno similar (con un razonamiento parecido) es por qué las "restricciones" de las funciones/morfismos se comportan tan bien:

• la restricción de un homomorfismo a un subgrupo es un homomorfismo

• la restricción del homeomorfismo es el homeomorfismo

Una respuesta más sofisticada sospecho que puede venir de la teoría de las categorías, que es el campo que hay que buscar para unir estos fenómenos que trascienden a través de diferentes áreas de las matemáticas.

Answer 4

Las respuestas más votadas están bien, pero también son muy incompletas y un poco circulares.

Quiero decir que hay una teoría estándar sobre cómo los operadores de cierre (que son funciones monótonas que satisfacen $A \leq \mathrm{cl}\, A, \: \mathrm{cl} \,\mathrm{cl}\, A \leq \mathrm{cl} A$ ) y los sistemas de cierre (que son colecciones de conjuntos cerrados por intersección, también conocidos como Familias Moore ) son la misma cosa. Y, sí, es bueno saber sobre esta bijección.

Al mismo tiempo, la mera descripción de esta biyección no explica realmente por qué acabamos llamando a estas cosas operadores de cierre y/o sistemas de cierre en primer lugar. He aquí una pregunta hipotética para ilustrar mi punto:

P: Entonces, ¿por qué se llaman cierre sistemas?

R: Porque inducen al cierre operadores .

P: ¿Pero por qué se llaman cierre ¿operadores?

R: Bueno, el conjuntos cerrados de un operador de cierre siempre forman un cierre del sistema.

P: ¿Pero por qué se llaman conjuntos cerrados en contraposición a, digamos, los conjuntos de flácidos? ¿Y qué tiene que ver todo esto con la noción intuitiva de que un conjunto está "cerrado" o es "ineludible" con respecto a algunas funciones u operaciones?

R: No tengo ni idea.

Para completar la discusión, lo que necesitamos es un teorema que explique por qué seguimos obteniendo familias de Moore siempre que nos interesen subconjuntos que estén cerrados bajo ciertas operaciones. Esto sólo tendrá sentido si conoces algo de teoría de categorías, así que asegúrate de investigarlo.

Siempre que $X$ es un conjunto y $A$ es un subconjunto, escribe $\eta_{X,A} : A \rightarrow X$ para la función de inclusión definida por $a \in A \mapsto a \in X$ . Con esa notación en su lugar, aquí está el teorema que estás buscando:

Teorema maestro de la familia Moore.

Dejemos que $X$ denotan un conjunto (piense en $X$ como equipado con algunas operaciones).

Dejemos que $I$ denotan un conjunto (piense en $I$ como conjunto de índices).

Para cada $i \in I$ , dejemos que $F_i$ denota un endofunctor en $\mathbf{Set}$ y que $f_i$ denotan una función $f_i : F_i(X) \rightarrow \mathcal{P}(X)$ .

Llame a $A \subseteq X$ cerrado si y sólo si, para todo $i \in I$ la función $f^A_i := f_i \circ F_i(\eta_{X,A}) : F_i(A) \rightarrow \mathcal{P}(X)$ satisface $$\forall t \in F_i(A) : f^A_i(t) \subseteq A.$$

Hecho: La colección de subconjuntos cerrados siempre forma una familia de Moore.

Ejemplo 1. Para demostrar que los subgrupos de un grupo $G$ forman una familia Moore, que $I = \{\mathrm{law},\mathrm{identity},\mathrm{inverse}\}.$ Que el $F_i$ denotan los siguientes endofunctores en $\mathbf{Set}$ respectivamente: $F_\mathrm{law} = \Box^2, F_\mathrm{identity} = \Box^0, F_\mathrm{inverse} = \Box^1.$ Que el $f_i$ denotan, respectivamente, las siguientes funciones $$f_{\mathrm{law}} = (x,y \in G \mapsto \{xy\})$$ $$f_{\mathrm{identity}} = (\{1_G\})$$ $$f_{\mathrm{inverse}} = (x \in G \mapsto \{x^{-1}\})$$

Se puede ver que un subconjunto de $G$ es cerrado con respecto a estos datos si y sólo si es un subgrupo en el sentido habitual de la palabra. Por lo tanto, por el teorema maestro de la familia de Moore, la colección de subgrupos de $G$ necesariamente forma una familia Moore.

Ejemplo 2. Para demostrar que los subconjuntos cerrados de un espacio de convergencia $X$ forman una familia Moore, que $I = \{\mathrm{lim}\}$ . Sea $F_\mathrm{lim}$ denotan el endofunctor del filtro $\Phi$ . Sea $f_\mathrm{lim} : \Phi X \rightarrow \mathcal{P}(X)$ denota la función que devuelve el conjunto de todos los puntos límite de un filtro. Entonces los conjuntos cerrados con respecto a estos datos son precisamente los conjuntos cerrados del espacio de convergencia en el sentido habitual de la palabra, y concluimos que éstos forman una familia de Moore por el teorema maestro.

Ejemplo 3. Afirmo que los conjuntos superiores de un poset $P$ formar una familia Moore. Sea $I = \{\mathrm{up}\}$ y que $F_\mathrm{up} = \mathrm{id}_\mathbf{Set}$ . Sea $f_{\mathrm{up}} : P \rightarrow \mathcal{P}(P)$ por definido por $p \mapsto \{x \in P : x \geq p\}$ . Por el teorema maestro de la familia de Moore, se obtiene el resultado deseado.

Prueba del teorema maestro. Dejemos que $J$ denotan un conjunto y suponen $A_j$ es una familia de subconjuntos cerrados de $X$ . Tenemos que demostrar que $C := \bigcap_{j \in J} A_j$ está cerrado. Considere $i \in I$ . Nuestro objetivo es demostrar que $$\forall t \in F_i(C) : f^C_i(t) \subseteq C.$$ Considere $t \in F_i(C)$ . Tenemos que demostrar que $f^C_i(t) \subseteq C.$ Es decir, intentamos demostrar que $$f^C_i(t) \subseteq \bigcap_{j \in J} A_j.$$ Por lo que significa la intersección, basta con mostrar que $$\forall j \in J : f^C_i(t) \subseteq A_j.$$ Así que considere $j \in J$ . Es suficiente para demostrar $f^C_i(t) \subseteq A_j.$ Desde $A_j$ está cerrado, sabemos que $f^{A_j}_i(F_i(\eta_{A_j,C})(t)) \subseteq A_j.$ Por lo tanto, basta con demostrar que $$f^C_i(t) \subseteq f^{A_j}_i(F_i(\eta_{A_j,C})(t)).$$ Pero si desempaca las definiciones, verá que esto se reduce a mostrar $F_i(\eta_{X,C}) = F_i(\eta_{X,A_j} \circ \eta_{A_j,C}),$ que es trivial. QED.

Answer 5

Esto funciona para objetos y propiedades que son de la forma "si algo está en el conjunto entonces otra cosa está en el conjunto", es decir,

Si $A\subseteq S$ entonces $a\in S$

donde (posiblemente muchos) pares $(A,a)$ se dan. Si esta afirmación es válida para cada $S_i, i\in I$ entonces también es válida para $S:=\bigcap_{i\in I}S_i$ . Es decir, si $A\subseteq S$ entonces $S\subseteq S_i$ para todos $i$ entonces $a\in S_i$ para todos $i$ entonces $a\in S$ .

Por ejemplo, dado un grupo $G$ el concepto de subgrupo $H$ puede definirse mediante

• Si $\{a,b\}\subseteq H$ entonces $ab\in H$
• Si $\{a\}\subseteq H$ entonces $a^{-1}\in H$
• Si $\emptyset\subseteq H$ entonces $e\in H$

donde $a,b$ pasar por encima de todos los $G$ . Todos estos son de la forma anterior. Por lo tanto, la intersección de subgrupos es un subgrupo.

Para un ideal de anillo $R$ podemos utilizar (lo anterior para el subgrupo del grupo aditivo junto con)

• Si $\{a\}\subseteq I$ entonces $ca\in I$

donde $a,c$ atropellar $R$ . De ello se deduce que la intersección del ideal es un ideal.

Para conjuntos cerrados de un espacio topológico $X$ podemos utilizar

• Si $A\subseteq S$ entonces $a\in S$

donde $A$ recorre todos los subconjuntos de $X$ teniendo $a$ como punto límite.

(También se pueden explicar las condiciones correspondientes a $\sigma$ -para las álgebras, para los ordinales, para mucho más).