En la convergencia de cuerpos convexos

Question

Deje $K\subset \mathbb{R}^n$ ser un compacto convexo conjunto de plena dimensión. Suponga que $0\in \partial K$.

Pregunta 1. Es cierto que existe $\varepsilon_0>0$ tal que para cualquier $0<\varepsilon <\varepsilon_0$ la intersección $K\cap \varepsilon S^{n-1}$ es contráctiles? Aquí $\varepsilon S^{n-1}$ es la unidad de la esfera centrada en 0 de radio $\varepsilon$.

Si la Pregunta 1 tiene una respuesta positiva me gustaría generalizar un poco. Bajo los supuestos anteriores, suponga además que una secuencia $\{K_i\}$ compacto de conjuntos convexos converge en la métrica de Hausdorff a $K$.

Pregunta 2. Es cierto que existe $\varepsilon_0>0$ tal que para cualquier $0<\varepsilon <\varepsilon_0$ la intersección $K_i\cap \varepsilon S^{n-1}$ es contráctiles para $i>i(\varepsilon)$?

Una referencia puede ser de ayuda.

Answer 1

La respuesta a la Pregunta 1 es afirmativa, que es precisamente el Lema 3.6 en el papel:

Límite de torsión y convexo tapas de localmente convexas, J. Diferencial Geom., 105 (2017), 427-486.

Aunque el lema es declarado y demostrado por $R^3$, la misma prueba de obras en $R^n$. La prueba también se indica cómo dar una respuesta positiva a la Pregunta 2.

La prueba es elemental y se procede de la siguiente manera: una superficie convexa puede ser representado localmente como la gráfica de una función convexa de más de un dominio convexo en un plano de apoyo, que podemos identificar con $R^{n-1}$. A continuación, la mitad superior de la esfera corresponde a la gráfica de una función cóncava en el mismo dominio convexo, suponiendo que el radio es lo suficientemente pequeña y después de reajustar el dominio. Ahora la parte de la superficie cortada por la esfera es el conjunto de puntos donde convexo de la gráfica se encuentra por debajo de la cóncava gráfico. Es fácil de comprobar, usando el estándar de las desigualdades de las funciones cóncavas y convexas, que esta parte de los proyectos en un dominio convexo. Por lo tanto se trata de un disco.

En el contexto de la Pregunta 2, tenemos una secuencia de funciones convexas convergentes hacia el lado convexo de la función mencionada en el párrafo anterior. Así que con el tiempo van a ser definidos sobre el mismo dominio convexo y se encuentran debajo de la cóncava de la función correspondiente para el hemisferio, donde de nuevo podemos concluir que el hemisferio superior se corta un disco a partir de sus gráficas. Así que la respuesta a la Pregunta 2 es sí también.

Answer 2

Dado un conjunto convexo $K$ en el espacio Euclidiano y un punto de $O\in\partial K$, existe un $\epsilon>0$ tal que para todos los $r<\epsilon$ la intersección $S(O,r)\cap K$ está conectado.

Por lo tanto, vamos a $O\in \partial K$. Llame a $P\in \partial K$ un punto crítico si $\langle O-P, X-P\rangle \geq 0$ para todos los $X\in K$. Tenga en cuenta que si $P_1$ e $P_2$ son puntos críticos con $\angle P_1 O P_2 \leq \frac{\pi}{3}$, luego por el teorema de Pitágoras $\frac{|OP_1|}{|OP_2|}\leq 2$. Por lo tanto, por un simple argumento de embalaje $$\epsilon=\inf_{P \; critical} |OP|>0.$$ For every $C>0$ smaller than this infimum, we show that the sphere $S_C$ of radius $C$ centered at $O$ has the property that $S_C\cap K$ is connected. Indeed, if points $X,Y$ were in different connected components of $S_C\cap K$, we would connect them by a path in $K$ and then "push out" the path away from $O$ using a flow in $K$, using that fact that the flow can only get stuck at a saddle point of $\partial K$ para la función de distancia, y un punto de silla es necesariamente un punto crítico. La construcción del flujo en la ausencia de tales Grove-Shiohama, puntos críticos, se describe en la http://link.springer.com/article/10.1007/BF02187719

Por ejemplo, para un triángulo agudo en el avión, el óptimo $\epsilon$ para un punto en uno de los lados será la menor de las dos distancias de $O$ para el resto de los lados. Cada círculo de radio menor que $\epsilon$ va a cumplir con el triángulo en la conexión de un arco.