¿Por qué es tan difícil de probar Toeplitz' conjetura?

Question

Soy un profano en matemáticas, así que por favor, discúlpame de antemano por cualquier cosa en esta pregunta, que puede ser inapropiado :D. Bien: hace Cuatro años, yo estaba leyendo (y trabajando para resolver los puzzles de) Winkler del Rompecabezas Matemáticos: Un Conocedor de la Colección, y en la sección "Enigmas sin resolver", no era el problema de "Cuadrar el Lago", en la página. 143: "Demostrar que toda curva cerrada simple en el plano que contiene cuatro puntos que forman los vértices de un cuadrado." Obviamente, yo no era capaz de demostrarlo (el máximo que podría conseguir, después de mucho esfuerzo, era demostrar que era cierto para los triángulos!!!), así que me fui a "Comentarios y Fuentes" en la página. 148, donde se menciona un sitio web, una revista de papel y un libro sobre el tema, y él también hizo el comentario de que "Es un poco vergonzoso que los matemáticos no puede [...]" (negritas es mío. "[...]" es equivalente a "resolver el rompecabezas", no quiero hacer una cita completa, porque si cito demasiado, yo pueda infringir algún derecho de autor...).

Bueno, mucho tiempo después me llegó a través de http://www.ams.org/journals/notices/201404/rnoti-p346.pdf y de acuerdo a https://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_square_problemel problema sigue abierto. Así que, me pregunto, ¿por qué este (de apariencia inocente :D) el problema es realmente tan difícil? (Yo probablemente no va a entender por qué, pero ustedes no necesitan dar una "respuesta de lego", puede ser una respuesta técnica!)

Answer 1

Déjenme elaborar Sam Hopkins comentario.

La razón principal que hace que este y otros problemas en continuas curvas tan difícil es que un "simple curva cerrada" o "de la curva de Jordan", es decir, un no-auto-intersección bucle continuo en el plano, puede ser una horrible objeto, por ejemplo una curva diferenciable, tales como el copo de nieve de Koch y otros fractal curvas. También hay Jordania curvas positivas de la zona (en primer lugar construido por la enfermedad de Osgood en 1903).

De hecho, como también se explica en el artículo de la Wikipedia que has enlazado, el problema es resuelto por "buen comportamiento" en las curvas, tales como curvas convexas o trozos de analíticas de las curvas, es decir, de los objetos que están cerca de nuestra idea intuitiva de "continuo bucle cerrado".

Una posible estrategia para resolver el problema en el caso general es tratar de aproximar la Jordania de la curva mediante el buen comportamiento de las curvas, para los que sabemos que la conjetura es verdadera, y, a continuación, pasar el límite. La dificultad técnica con este enfoque es que un límite de plazas no es necesariamente una plaza, pero puede ser un solo punto (es decir, un cuadrado de lado de longitud 0"), por lo que no está claro si siempre es posible encontrar una aproximación de las secuencias de curvas en las que trabaja.