Evitar los múltiplos de $p$

Question

Deje $p$ ser un primer número y $P=\{1,2,...,p-1\}$

De cuántas maneras podemos sintetizar todos los elementos de $P$ de tal manera que vamos a llegar a un múltiplo de $p$
sólo cuando se suma el último sumando?

Por ejemplo supongamos $p=7$ .
Claramente, $1+2+3+4+5+6$ es una suma (De hecho no existe $408$ de las sumas)
pero $2+3+5+4+1+6$ es no, porque ya se $2+3+5+4=2\cdot7$.

Podemos ver después de un poco de investigación de que si el número total de la suma es $f(p)$,luego

$\frac{(p-1)!}{p-2}\leq f(p)\leq (p-1)!$ (igualdad tiene iff $p=3$)

Es posible mejorar este (para encontrar asintótica límites o, mejor aún, algo precisa)?
Gracias de antemano!
EDITAR : es posible demostrar en los niveles de primaria manera que para cada $n\in \mathbb{N}$, $\phi(n)\mid f(n)$
($\phi(n)$ es de Euler de la función)

Answer 1

Como he mencionado en los comentarios anteriores, el número de permutaciones de los elementos $1,2,\dots,p$ (es decir, incluyendo a $p$) es sólo por el factor de $p-2$ mayor que la cantidad en cuestión (de hecho, esto es cierto para cualquier extraño $p$). Tales permutaciones se cuentan en http://oeis.org/A232663

Aquí es una fórmula explícita para el número de permutaciones para un primer $p$, lo que tengo por jugar con la inclusión-exclusión:

$$\sum_{A\in M_p} (-1)^{m+n}\cdot \frac{1}{n!} \cdot p^{n-\mathrm{rank}(A)} \cdot \prod_{j=1}^n (c_j-1)! \cdot \prod_{i=1}^m \binom{r_i}{a_{i1}, \dots, a_{in}},$$

donde:

• $M_p$ es el conjunto de las matrices con número entero no negativo entradas que se suma a a $p$, con cero filas o columnas. Tamaño de $M_p$ está dado por http://oeis.org/A120733

• $A=(a_{ij})$ es una matriz de tamaño $m\times n$ (es decir, $m$ e $n$ son, respectivamente, el número de filas y columnas en $A$);

• $c_j = \sum_{i=1}^m a_{ij}$ es la suma de $j$-ésima columna de la matriz $A$;

• $r_i = \sum_{j=1}^n a_{ij}$ es la suma de $i$-ésima fila de la matriz $A$;

• matriz de rango se calcula sobre $\mathrm{GF}(p)$.

La fórmula puede no ser tan útil debido a su complejidad, pero aún así es buena. Pero la misma razón que yo no los publique aquí su derivación como se llevaría al menos un par de páginas.

La fórmula ha sido numéricamente probado para $p=5$ e $p=7$.