Tamaños de bases de espacios vectoriales sin el axioma de elección

Question

Asumiendo que el axioma de elección no se cumple tenemos que existe un espacio vectorial sin base. La situación puede ser, en cierto sentido, peor. Es consistente que haya espacios vectoriales que tengan dos bases con cardinalidades completamente diferentes.

¿Se sabe algo sobre cuándo un espacio vectorial está abarcado por conjuntos de diferentes cardinalidades, y sobre la relación entre esas cardinalidades?

¿Existe una relación conocida entre los principios de elección comunes (BPIT, DC, etc.) y las posibles cardinalidades de un espacio vectorial? (Por ejemplo, ¿implica BPIT que cada dos bases tienen el mismo tamaño?)

Answer 1

Sí, ZF+BPIT implica que la dimensión del espacio vectorial está bien definida. [Edición: un poco de búsqueda en Google muestra que James Halpern dio la misma respuesta en los años 60 .]

Trabajar en ZF+BPIT, fijar un campo $F$ y un $F$ -espacio vectorial $V$ y bases $A$ y $B$ de V. Es decir, cada elemento de $V$ es un único $F$ -combinación lineal de elementos de $A$ ; igualmente para $B$ . Para cada $a\in A$ , dejemos que $S_a$ sea el subconjunto mínimo de $B$ tal que $a$ está atravesado por $S_a$ . Cada $S_a$ es finito; dale la topología discreta. Sea $X=\prod_{a\in A}S_a$ que es no vacío por BPIT (y es compacto Hausdorff). Por Schroeder-Bernstein, basta con demostrar que algún $f\in X$ es inyectiva. Por compacidad, basta con demostrar que para todo subconjunto finito $K$ de $A$ Hay un $f\in X$ que es inyectiva en $K$ . Dado que cada $\prod_{a\in A\setminus K}S_a$ es no vacía por BPIT, basta con demostrar que existe una inyección en cada $\prod_{a\in K}S_a$ . Es un pequeño y bonito ejercicio de álgebra lineal que puedes resolver en ZF utilizando el caso finito del teorema del matrimonio de Hall.

Answer 2

Si no me equivoco hay otra prueba de que BPI implica que dos bases cualesquiera de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad. Como se ha señalado anteriormente, si $(u_i)_{i \in I}$ y $(v_j)_{j\in j}$ son dos bases de $V$ espacio vectorial sobre $K$ basta con mostrar que hay una inyección $I\to J$ . Vamos a utilizar la equivalencia "BPI $\iff$ Compactación para la lógica proposicional". Para cada $i\in I$ existe un único conjunto mínimo finito $J_i \subset J$ tal que $u_i$ está atravesado por $J_i$ . Para $i \in I, j\in J$ creamos una variable proposicional $P_{i,j}$ se supone que significa $f(i)=j$ . Entonces creamos una teoría $T$ que contiene todos los $\neg (P_{i,j} \land P_{i, j'})$ cuando $j\neq j' \in J$ y $\neg (P_{i,j}\land P_{i',j})$ cuando $i\neq i' \in I$ . Se supone que esto significa " $f$ es inyectiva". Pero obviamente esto no es suficiente (de lo contrario se podría demostrar que cualquier conjunto inyecta en otro), ya que necesitamos expresar algo como " $f(i)$ se define para cualquier $i\in I$ ". Aquí es donde usamos el $J_i$ : añadimos a la teoría las fórmulas $\displaystyle\bigvee_{j\in J_i} P_{i,j}$ para $i\in I$ que es una fórmula bien definida (hasta la equivalencia lógica), ya que cada $J_i$ es finito. Ahora bien, si $T$ es satisfacible, entonces hemos encontrado nuestra inyección : supongamos $v$ es un modelo para $T$ entonces $f:=\{(i,j) \in I\times J\mid v(P_{i,j}) =1\}$ es una inyección, cuyo dominio es $I$ . La compacidad muestra que es suficiente con tener $T$ finitamente satisfecha, y si $T_0$ es una subteoría finita de $T$ , ot está contenida en una subteoría finita $T_1$ que expresa (modulo nuestra identificación) que un cierto subconjunto finito $I_0\subset I$ se inyecta en $J$ con cada $i\in I_0$ que se envía a $J_i$ . Ahora bien, a menos que me equivoque, esto es posible, ya que sólo utiliza la cardinalidad de las bases para los espacios de dimensión finita, lo que es cierto sin ningún tipo de elección. Así que $T$ es satisfacible, tenemos nuestra inyección, y la simetría + Cantor-Bernstein nos permiten concluir

EDIT : Puede que me esté equivocando, es posible que no se pueda evitar el argumento del "teorema del matrimonio de Hall"