¿Puedes hacer una esfera a partir de un plano?

Question

Tuve la idea de construir un modelo de la Tierra en Minecraft. En este juego, todo se construye en un plano 2D de longitud y anchura infinitas. Pero, quería hacer un mundo tal que alguien que lo explorara pudiera pensar que podría estar caminando sobre una esfera muy grande. (El estiramiento o encogimiento de diferentes lugares está bien).

Lo primero que pensé en hacer fue construir un modelo rectangular finito del mundo como una proyección mercatorial, y teselar este modelo infinitamente a lo largo del plano.

Alguien que comience en EE.UU. podría nadar hacia el este en línea recta a través del Atlántico, atravesar África y Asia, continuar por el Pacífico y regresar a EE.UU. Esto crearía sin duda una sensación de tridimensionalidad. Sin embargo, si viaja hacia el norte desde el Polo Norte, acabaría inmediatamente en el Polo Sur. Eso no sería correcto.

Después de pensar en ello, formulé la hipótesis de que un explorador de este modelo podría llegar a la conclusión de que estaba caminando por un mundo con forma de rosquilla, ya que esa sería la forma de un mapa en el que la izquierda se enroscara a la derecha (formando un cilindro), y luego la parte superior se enroscara a la inferior. Por alguna razón, simplemente teselando el mapa, estaba creando un agujero en el mundo.

De todos modos, para resolver esta cuestión, he pensado en dónde acaba uno después de viajar al norte desde varias partes del mundo. Si se va al norte desde Canadá y se sigue en esa dirección, se acaba en Rusia y se mira hacia el sur. Lo contrario también es cierto: yendo hacia el norte desde Rusia, acabas en Canadá apuntando hacia el sur. Así que empecé a modificar la teselación para conectar adecuadamente las partes opuestas de la Tierra en los polos.

Al ir hacia el norte de un mapa de la Tierra, el siguiente mapa (duplicado) tendría que girar 180 grados para reflejar el hecho de que uno mira hacia el sur después de atravesar el polo norte. Esto estaba bien. Sin embargo, para conectar todo correctamente, el mapa también tenía que ser volteado sobre el eje vertical. En un globo terráqueo, si Alicia comienza al este de Bob y juntos caminan hacia el Norte y cruzan el Polo Norte, Alicia sigue estando al este de Bob. Por lo tanto, al ir hacia el norte desde un mapa, el siguiente mapa debe ser volteado para preservar las direcciones este/oeste que de otra manera habrían sido rotadas en la dirección equivocada.

Ahora la situación es desesperada. Después de que un explorador atraviese el Polo Norte en este mundo de Minecraft, se encuentra en un mundo reflejado. Si el mundo fuera completamente plano, daría la sensación de que caminar hacia el Norte le llevaría desde el exterior de un objeto 3D hasta su interior.

Aunque ahora pienso que es imposible engañar a un explorador que camina por un plano infinito haciéndole creer que está en un mundo parecido a una esfera, una parte de mí sigue sin estar convencida. ¿Es realmente imposible? Además, ¿cómo es que una teselación ingenua introduce un agujero? Y, por último, si un explorador recorriera el mundo en el que el cruce de un polo lo invierte todo, ¿cuál sería su conclusión sobre la forma del mundo?

Answer 1

Aunque no se puede hacer una esfera a partir de un plano, hay proyecciones de mapas que teselan "naturalmente" (y colocan los puntos singulares difíciles en el océano, donde la gente tiende a no notarlos). Por razones topológicas, no se pueden evitar los puntos de las esquinas, pero este tipo de mapa evita algunos de los problemas del reflejo y es continuo excepto en esos puntos de las esquinas.

La más conocida es la proyección "Peirce quincuncial". Wikipedia tiene una imagen que muestra la proyección

Imagen de Strebe - Obra propia, CC BY-SA 3.0

Answer 2

Lo que quieres hacer no es posible porque no existe una esfera plana. Es decir, no hay manera de poner una métrica en una esfera topológica tal que la curvatura sea cero en todas partes. Esto se puede demostrar utilizando la Teorema de Gauss-Bonnet la curvatura global (me refiero a la integral de la curvatura en toda la esfera) es igual a ( $2\pi$ veces) la característica de Euler, que para una esfera es $2$ (y no $0$ ).

Por otro lado, es muy conocido por los jugadores que hay toros planos: simplemente te teletransportas al otro lado cuando chocas con una pared. Esto se ilustra con el hecho de que la característica de Euler de un toro es $0$ por lo que puede haber una métrica plana en un toro (y de hecho se puede definir una expresando el toro como un cociente del plano).

Answer 3

Un modelo matemático

Supongamos que has conseguido engañar al jugador haciéndole creer que está en una esfera cuando en realidad está caminando por un plano infinito. ¿Qué aspecto tendría que tener el mundo?

En primer lugar, siempre que el jugador esté parado en algún punto $x$ en el mundo plano, se engañan para pensar que realmente son en algún momento $i(x)$ en el mundo esférico imaginario. En otras palabras, la imaginación del jugador crea una cartografía $i : \mathbb{R}^2 \to S^2$ .

La suposición

Como señala otra respuesta, es imposible que $i$ para ser una isometría local debido a la diferencia de curvaturas del plano y la esfera. Otro argumento fácil es que en la esfera hay un triángulo con tres ángulos rectos, mientras que en el plano claramente no lo hay. Pero podemos relajar nuestras expectativas y exigir sólo que $i$ ser un áspero isometría local. ¿Qué quiero decir con eso?

Nuestro jugador es sólo un humano y como tal, no puede distinguir realmente entre $1$ metro y $99$ centímetros, tampoco pueden ver muy lejos. Por lo tanto, suponemos que para cada suficientemente cerca puntos $x, y \in \mathbb{R}^2$ lo siguiente igualdad hasta un pequeño margen $\varepsilon$ entre las distancias en el plano y en la esfera se mantiene: $$(1-\varepsilon) \cdot d_{\mathbb{R}^2}(x, y) \leqslant d_{S^2} \big( i(x), i(y) \big) \leqslant (1+\varepsilon) \cdot d_{\mathbb{R}^2}(x, y).$$

Una solución

Se puede demostrar (aunque es bastante técnico) que bajo este supuesto $e : \mathbb{R}^2 \to S^2$ debe ser un mapa de cobertura . Pero $S^2$ es simplemente conectado, por lo que se deduce que $\mathbb{R}^2$ es homeomorfo a $S^2$ , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, no existe una función con las propiedades indicadas anteriormente.

Lo que significa que lo que está tratando de hacer - es imposible.

Answer 4

A diferencia de las otras respuestas a esta pregunta, afirmo que es posible engañar a un explorador en un plano infinito haciéndole creer que está en una esfera. De hecho, estoy a punto de engañarlo, proporcionando sólo una captura de pantalla de un proyecto de videojuego en curso en el que estoy trabajando actualmente, junto con otros excelentes desconocidos de Internet.

Todas las respuestas anteriores han demostrado que no es posible hacer lo que quieres satisfacer en el espacio euclidiano. Así que en su lugar vamos a hacerlo en espacio hiperbólico . En el espacio hiperbólico, los planos son planos hiperbólicos, tienen curvatura negativa, y las superficies interesantes con curvatura cero son esferas de radio infinito llamadas horósferas (en el espacio hiperbólico, ¡no es lo mismo que un plano!) Las horósferas funcionan intrínsecamente igual que el espacio euclidiano, pero parecen curvas cuando se incrustan en el espacio hiperbólico.

Aquí hay una captura de pantalla de una horósfera con algo de terreno:

Parece bastante redondo, ¿verdad? Pues, efectivamente, es redondo. Sin embargo, no es esférico, incluso si se ignoran las variaciones de altitud. Es una horósfera. La superficie de este "planeta" es realmente euclidiana. Se puede dibujar una cuadrícula cuadrada en la superficie sin distorsionarla.

Para confundirte más, aquí tienes una vista diferente, esta vez con el terreno invertido (el aire es ahora dentro de la horósfera en lugar de fuera de ella).

Parece mucho más grande por dentro, lo sé, pero es exactamente la misma horóscopa que antes. Desde esta perspectiva debería ser más fácil saber que la horósfera es infinita, pero visto en acción esto puede seguir convenciendo a los exploradores del mundo euclidiano de que están dentro de una esfera relativamente pequeña si no se les ocurre mirar hacia arriba.

También es posible conseguir un efecto muy diferente: si colocas el terreno a lo largo de un plano hiperbólico, parecerá perfectamente plano a nivel del suelo:

Sin embargo, si lo miras desde unas pocas manzanas más arriba, empieza a parecer un planeta bastante pequeño:

Ninguna de estas capturas de pantalla implica trucos de renderización baratos, este es el aspecto real del espacio hiperbólico.

Answer 5

En realidad no es una respuesta completa, sino la elaboración de la observación del OP "estaba creando un agujero en el mundo": Se sabe desde la antigüedad que se puede hacer un proyección estereográfica de un plano en una esfera, faltando un solo punto. Esto se utiliza especialmente en el análisis complejo en la construcción de la Esfera de Riemann ; tomando el plano complejo y añadiendo un único "punto en el infinito", se tiene una estructura equivalente a una esfera.