El truco del toro de Kirby

Question

Mi pregunta básica es: ¿Qué es el truco del toro de Kirby y por qué resolvió tantos problemas?

Puedo tener un atisbo de ello al ver el original de Kirby papel "Homeomorfismos estables y la conjetura del anillo", y su mathscinet revisar . Sin embargo, no tengo muy claro en qué consistía exactamente el truco del toro. Parece que hay dos ideas importantes: la primera es que levantando a lo largo de coberturas cada vez más altas se pueden hacer desaparecer los obstáculos a la cirugía, y la segunda es que se pueden retrotraer las estructuras diferenciales a los toros sumergiéndolos en $\mathbb{R}^n$ y formando diagramas como:

$$ \require{AMScd} \begin{CD} {T^n-D^n}@>{id}>> \widetilde{T^n-D^n}\\ @VVV @VVV \\ \mathbb{R}^n @>{g}>> \mathbb{R}^n \end{CD} $$

He buscado una referencia que resuma la situación pero no he podido encontrarla. Si hay algún documento que dé un resumen del truco así como el contexto para entenderlo, estaría agradecido de conocerlo. Esperaba encontrar un resumen sucinto en Wikipedia pero el enlace del truco del toro en la página de Kirby está tristemente en rojo. Si alguien pudiera dar un ejemplo del tipo de problema que el truco del toroide es bueno para resolver también sería genial.

Answer 1

Recomiendo encarecidamente El preimpreso de Allen Hatcher en el que emplea el truco del toro para la pedestre tarea de demostrar la existencia y la unicidad hasta la isotopía de las estructuras lisas en cada 2manifiesto. El problema de las obstrucciones quirúrgicas se evita en este caso mediante hechos sencillos sobre el toro bidimensional, dejando al descubierto el propio truco del toro.

Answer 2

Como complemento a las referencias más eruditas, podría disfrutar de esta grabación de vídeo de una deliciosa entrevista con Kirby. En la sección titulada "The Torus Trick", describe el proceso que le llevó a descubrir el truco, que me pareció interesante tanto desde el punto de vista matemático como histórico, aunque es un poco breve. Algunas de las secciones circundantes del vídeo contienen más información interesante sobre el estado de la topología en aquella época.