Que espacios vectoriales son duales ?

Question

Cada finito-dimensional espacio vectorial es isomorfo a su doble. Sin embargo, para un infinito-dimensional espacio vectorial $E$ sobre un campo $K$ esto es siempre falso, ya que su doble $E^\ast$ es un espacio vectorial de estrictamente mayor dimensión: $dim_KE \lt dim_K E^\ast $ (dimensiones son los cardenales de curso). Esto es no trivial de la declaración para que nuestro amigo Andrea Ferretti ha dado una increíblemente inesperado prueba aquí. Esto implica, por ejemplo, que un espacio vectorial de countably dimensión infinita sobre un campo $K$, como el polinomio anillo de $K[X]$, no puede ser el doble de cualquier $K$-espacio vectorial de ningún tipo.

Así un infinito-dimensional espacio vectorial no es isomorfo a su doble, pero podría ser isomorfo a el doble de otro espacio vectorial y mi pregunta es: ¿qué espacios vectoriales son isomorfos a la doble de algún otro espacio vectorial y cuales no?

Con el fin de hacer la pregunta un poco más precisos, permítanme recordarles de una increíble teorema, atribuida por Jacobson (página 246) a Kaplanski y Erdős:

El Kaplanski-Erdős teorema : Vamos a $K$ ser un campo y $E$ un infinito-dimensional $K$-espacio vectorial . Luego de la doble $E^\ast$ de % de $E$ la fórmula $dim_K (E^\ast) = card (E^\ast)$ obtiene.

Así que ahora puedo pedir

Una pregunta precisa : hay un converso a la Kaplanski-Erdős condición, es decir, si una $K$- espacio vectorial $V$ (automáticamente infinitas dimensiones !) satisface $dim_K (V) = card (V)$ , es el doble de algún otro espacio vectorial : $V \simeq E^\ast$? Por ejemplo, es $\mathbb R ^{(\mathbb R)}$ - que se cumple la Kaplanski-Erdős condición ( cf. la "utilidad de la fórmula" más abajo) - un doble?

Una vaga petición : podrías por favor dar "concreto" ejemplos de dobles y de no-duales entre infinito-dimensional espacios vectoriales?

Una fórmula útil : En este contexto, tenemos la grata fórmula para la cardinalidad de un infinito-dimensional $K$-espacio vectorial $V$ ( para los que usted puede encontrar una prueba de otro de nuestros amigos, Todd Trimble, aquí )

$$ card \: V= (card \: K) \; . (dim_K V) $$

Answer 1

El $\mathbf{R}$-espacio vectorial $\mathbf{R}^{(\mathbf{R})}$ tiene dimensión $\operatorname{card} \mathbf{R}$ por definición, por lo que es isomorfo a $\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$ (por el Erdős-Kaplansky y teorema debido a $\operatorname{card}(\mathbf{R}^{\mathbf{N}}) = \operatorname{card} \mathbf{R}$). Por lo $\mathbf{R}^{(\mathbf{R})}$ es isomorfo al doble de $\mathbf{R}[X]$.

En general, su pregunta precisa es equivalente a la siguiente puramente set-pregunta teórica (lo que parece difícil). Por la utilidad de la fórmula, la identidad de $\operatorname{card} V = \operatorname{dim}_K V$ es equivalente a $\operatorname{card} K \leq \operatorname{dim}_K V$. Deje $\kappa = \operatorname{card} K$ e $\lambda = \dim_K V$, y asumir la $\kappa \leq \lambda$. No siempre existe una infinita cardenal $\alpha$ tal que $\kappa^\alpha = \lambda$? (aquí se $\alpha$ está destinado a ser la dimensión del espacio vectorial cuyo doble es $V$). En general, Esteban respuesta muestra que hay contraejemplos.

EDIT : con el fin de explicar por qué la pregunta es difícil, considere la posibilidad de un campo de $K$ tal que $\operatorname{card} K = \aleph_1$ (por ejemplo, uno podría tener $K=\mathbf{Q}((T_i)_{i \in I})$ con $\operatorname{card} I =\aleph_1$). Tomar una $K$-espacio vectorial $V$ de la dimensión de $\aleph_1$. A continuación, $V$ es un dual si y sólo si existe $\alpha \geq \aleph_0$ tal que $\aleph_1 = (\aleph_1)^\alpha$, lo que equivale a decir que el $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$. En otras palabras, $V$ es un dual si y sólo si la hipótesis continua sostiene.

Answer 2

Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre un campo $K$, entonces la dimensión de su doble está dado por $\dim(V^*)=|K|^{\dim(V)}$. Esto es esencialmente una repetición de lo que han llamado la Kaplanski-Erdős teorema, debido a que los elementos de $V^*$ corresponden a las funciones $B\to K$ donde $B$ es una base de $V$, lo $\dim(V^*)=|V^*|=|K^B|=|K|^{\dim(V)}$.

Para responder a tu "pregunta precisa": Deje $V$ ser un espacio vectorial de dimensión $\aleph_0$ sobre $\mathbb{Q}$. A continuación,$|V|=\dim(V)$, sin embargo, $V$ no es isomorfo al doble de cualquier espacio vectorial, ya que su dimensión no es de la forma $|\mathbb{Q}|^\lambda$ para cualquier infinita cardenal $\lambda$. Por otra parte, el mismo es cierto si $\aleph_0$ es reemplazado por cualquier otro fuerte limitar el cardenal, como $\beth_\omega$.

Tenga en cuenta que $\mathbb{R}^{(\mathbb{R})}$ es isomorfo al doble de $\mathbb{R}^{(\mathbb{N})}$.

Answer 3

Deje $K$ ser un campo de tamaño $\kappa$ y deje $V$ ser $K$-espacio vectorial de dimensión $\lambda$. Si $\kappa\leq\lambda$, entonces la dimensión de la doble vertiente de la $V$ es simplemente $2^\lambda$. Este es implica que los espacios vectoriales de dimensiones grandes, son duales iff su dimensión (y por lo tanto su tamaño) es una potencia de 2. No tengo tiempo ahora para que explique lo que sucede si la dimensión de $V$ es relativamente pequeño para el tamaño de $K$.