Que establece ocurrir, ya que las fronteras de otros conjuntos en espacios topológicos?

Question

Esta pregunta fue originalmente pidió en MathStackExchange y es emigraron aquí con la opinión de MO meta. Yo soy la integración de las aportaciones de los usuarios Daniel Fischer y Emil Jerabek hay en este post.

Que establece ocurrir, ya que las fronteras de otros conjuntos en espacios topológicos?

Por supuesto, el límite de un conjunto es cerrado. Pero no todo conjunto cerrado en un espacio topológico es el límite de un conjunto en el espacio; sólo el conjunto vacío se produce como un límite en un espacio discreto.

De manera más general, los límites no puede contener puntos aislados del espacio ambiente (pero puede haber puntos aislados de sí mismo).

Es tentador afirmar que las fronteras interiores vacíos, pero esto no es cierto, como se muestra por el hecho de que la frontera de Q en R es R. En el hecho de que puede ser visto, en general, de que el límite de un denso conjunto con vacío interior es todo el espacio. Por lo tanto la única frontera en una indiscreta espacio es todo el conjunto, así como la única frontera en un espacio discreto es el conjunto vacío.

Sin embargo, la sensación intuitiva viene a la derecha para abrir sets (y, a continuación, para los conjuntos cerrados así): La frontera de un conjunto abierto no puede contener un conjunto abierto.

Esta pregunta se refiere a todos los subconjuntos de un espacio topológico.

Una alternativa relacionados a la cuestión será para caracterizar todos los espacios topológicos en la que cada conjunto cerrado se produce como un límite. Ser un espacio perfecto (es decir, sin puntos aislados) es una condición necesaria, como un anterior comentario anterior sobre puntos aislados de la muestra. Emil Jerabek ha conjeturado sobre la meta de que esta (de ser perfecto) es suficiente, por $T_0$ segundo contables espacios.

Answer 1

Los espacios en los que cada conjunto cerrado es un límite son precisamente los de resolverse de espacios. Un espacio topológico se dice que se puede resolver si se puede dividir en dos densa subespacios.

$\mathbf{Proposition}$ Un espacio es resoluble si y sólo si cada conjunto cerrado, es la frontera de un conjunto.

$\leftarrow$ Si $X$ es un espacio topológico tal que cada subespacio cerrado de $X$ es un límite de un conjunto, entonces el conjunto $X$ es el límite de algunos de $A$. Sin embargo, si $X=\partial A=\overline{A}\setminus(A^{\circ})$ ,, a continuación,$A^{\circ}=\emptyset$, por lo que $\overline{A^{c}}=(A^{\circ})^{c}=X$. Por lo tanto, $A$ e $A^{c}$ son dos distintos subconjuntos densos de $X$, lo $X$ es resoluble.

$\rightarrow$ Supongamos que $X$ es resoluble. Entonces hay una partición de $A,B$ de % de $X$ en dos densa subespacios. Deje $C\subseteq X$ ser un subespacio cerrado. Entonces

Yo reclamo que $C=\partial (\partial C\cup(C^{\circ}\cap A))$.

Claramente $\partial C\cup(C^{\circ}\cap A)\subseteq C$, por lo que $\overline{\partial C\cup(C^{\circ}\cap A)}\subseteq C$.

Claramente $\partial C\subseteq\overline{\partial C\cup(C^{\circ}\cap A)}$.

Por otro lado, si $x\in C^{\circ}$, entonces para cada vecindario $U$ de % de$x$, la $U\cap C^{\circ}$ es también un abrir barrio de $x$. Por lo tanto, el conjunto de $A\cap U\cap C^{\circ}$ no está vacía desde $A$ es un denso conjunto. Por lo tanto, a la conclusión de que $x\in\overline{C^{\circ}\cap A}\subseteq\overline{\partial C\cup(C^{\circ}\cap A)}$. Por lo tanto, a la conclusión de que $C^{\circ}\subseteq\overline{\partial C\cup(C^{\circ}\cap A)}$. Por lo tanto, tenemos

$C=C^{\circ}\cup\partial C\subseteq\overline{\partial C\cup(C^{\circ}\cap A)}$.

Por lo tanto,$C=\overline{\partial C\cup(C^{\circ}\cap A)}$.

Por otro lado, si $U\subseteq\partial C\cup(C^{\circ}\cap A)$ está abierta,$U\subseteq C^{\circ}\cap A$. Sin embargo, desde la $B$ es densa, $U$ debe estar vacío. Por lo tanto, $(\partial C\cup(C^{\circ}\cap A))^{\circ}=\emptyset$.

Llegamos a la conclusión de que $C=\partial(\partial C\cup(C^{\circ}\cap A))$. $\mathbf{QED}$

Como fue señalado por la Voluntad Sawin, un subconjunto cerrado de un espacio topológico es un límite de espacio si y sólo si su interior es resoluble.

Puesto que la noción de determinabilidad no ha aparecido en este sitio web antes, permítanme señalar algunos hechos acerca de determinabilidad.

La mayoría de los espacios, sin puntos aislados que uno ocupa en la topología se puede resolver (y mucho más ). Vamos a llamar a un espacio $X$ $\kappa$-se puede resolver si $X$ se puede dividir en $\kappa$ muchos subconjuntos densos. La dispersión de caracteres $\Delta(X)$ a de un espacio topológico $X$ es la mínima cardinalidad de un no-vacío abierto subespacio de $X$. Un espacio topológico $X$ se dice que el máximo se puede resolver si es $\Delta(X)$-resoluble.

Cada compacto de Hausdorff espacio y cada espacio métrico es el máximo de resolver. Además, asumiendo $V=L$, para cada espacio de Baire sin puntos aislados es $\aleph_{0}$-resoluble. De hecho, la existencia de un Baire irresoluble espacio sin puntos aislados es equiconsistent con la existencia de un cardinal medible. También, cada countably compacto regular el espacio es $\omega_{1}$-resoluble.

También, determinabilidad es equivalente a una aparentemente más débil condición. Un espacio de $X$ es resoluble si y sólo si puede ser dividido en un número finito de subconjuntos con interiores vacíos.

Answer 2

Edificio en Nombre de Joseph Van a responder

Un conjunto cerrado es un límite si y sólo si su interior es una de resolver espacio topológico

Prueba:

$\leftarrow$ Si $A$ es un subconjunto de $X$ cuyo interior $A^o$ es resoluble, es decir, $A^o=B\cup (A^o-B)$ donde $B$ e $A^o-B$ son densos en $A^o$, vamos a $C$ ser la unión del complemento de la serie y una de las dos partes densas del interior,

$C=B\cup A^c$.

El interior de esta unión es sólo el complemento de un conjunto,

$C^o=(B\cup A^c)^o=A^c$,

como $B$ no puede contener los puntos del interior si $A^o-B$ tiene que ser denso en $A^o$.

El cierre de esta unión, $\overline{C}=\overline{B\cup A^c} $ incluye el interior de la $A^o$ y el complemento de $A^c$ de % de$A$, y es cerrado, por lo que es todo el espacio, es decir, $\overline{C}=X$.

Por lo tanto, $\partial C=\overline{C}-C^o=X-A^c=A.$

$\rightarrow$ A esta parte, tenga en cuenta que la propiedad de un conjunto de límites son conservados por la restricción para abrir subconjuntos, y el uso de Joseph Van el Nombre de la respuesta.