Soy auto-estudio de la topología de Munkres. Un ejercicio que pide, en parte, para demostrar que los espacios de $(0,1)$ $(0,1]$ no homeomórficos. Una aparente solución es la siguiente: Si se quita un punto, $x$,$(0,1)$, se obtiene un desconectado espacio; sin embargo, puede quitar el punto de $\{1\}$ desde el espacio $(0,1]$ y el espacio seguirá conectado. Al parecer, esto significa que los espacios no son homeomórficos. No acabo de ver la conexión con la definición de homeomórficos espacios (dos espacios son homeomórficos si hay un bicontinuous función entre ellos). Así que, ¿cuál es la conexión entre el "bicontinuous" definición de homeomorphisms y la "eliminación de un punto de" procedimiento? Lo siento por falta de algo que es obvio.
Respuestas
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Lo que está faltando es la siguiente:
Si $f : X \to Y$ es un homeomorphism, a continuación, $f|_U : U \to f(U)$ es un homeomorphism para cualquier $U \subseteq X$.
En particular, para cualquier $x \in X$, $f|_{X\setminus\{x\}} : X\setminus\{x\} \to Y\setminus\{f(x)\}$ es un homeomorphism. También tenga en cuenta que el argumento que usted ha mencionado utiliza el hecho de que si dos espacios son homeomórficos, entonces ellos son conectados o desconectados.
MJD
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37705
Usted debe llenar los detalles de la prueba, que será instructivo. (Es posible que también han sido discutidos en el libro, y se lo perdió. Usted debe revisar cuidadosamente.) Hay dos pasos.
En primer lugar, observe que si $X$ $Y$ son homeomórficos, el $X$ está conectado si y sólo si $Y$ está conectado: un conjunto conectado no puede ser homeomórficos a una desconectado conjunto. La razón es esencialmente esto: conectividad es una propiedad que sea su enunciado completo en términos de bloques abiertos, por lo que cualquier argumento que $X$ es, o no es, conectado, debe reducir a un argumento acerca de la apertura de los conjuntos de $X$, y luego el homeomorphism permite traducir este argumento acerca de abrir conjuntos de $X$ directamente al abrir conjuntos de $Y$, donde pasa a través de la misma manera.
Ahora de igual manera, supongamos $X$ $Y$ son homeomórficos; dicen que el homeomorphism es $h$. Y supongamos que existe un punto de $x\in X$, lo que puede ser eliminado de $X$, por lo que el $X\setminus\{x\}$ está conectado. A continuación, $Y\setminus\{h(x)\}$ también debe estar conectado, con el argumento de que el párrafo anterior.
Pero en este caso $X=(0,1]$$Y=(0,1)$, y te dicen que tenemos una homeomorphism $h$. Podemos tomar $x=1$; a continuación, $(0,1]\setminus\{1\}$ está conectado, y $(0,1)\setminus\{h(1)\}$ también debe estar conectado, ya que los dos conjuntos son homeomórficos. Pero $(0,1)\setminus\{h(1)\}$ no puede ser conectado, así que algo está mal; uno de nuestros supuestos deben ser descartadas. Y la única cosa que podemos descartar es que $h$ fue una homeomorphism.
Dan Rust
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18227
Deje $X$ ser una ruta conectada espacio topológico. Podemos decir $x\in X$ es un corte de punto de $X$ si el espacio de $X\setminus\{x\}$ (con la topología de subespacio) no es la ruta de acceso conectado.
La propiedad más básica de la corte de puntos es la siguiente
Teorema. Si $X$ $Y$ son homeomórficos con un homeomorphism $f\colon X\to Y$, entonces si $x\in X$ es un corte de punto, también debemos tener $f(x)\in Y$ es un punto de corte.
Hay una cantidad sorprendente que usted puede hacer con el límite de puntos y similares extraíble puntos que cambiar alguna de las propiedades del espacio'. Por ejemplo, si $X$ $Y$ son homeomórficos, entonces, si cada punto de $X$ es un corte, por lo que es cada punto de $Y$ (probar esta usando el teorema anterior). El contrapositivo de esta declaración es la utilizada por el Munkres.
La cardinalidad de la corte-conjunto de puntos de un espacio es también un homeomorphism invariante. También el número de componentes en $X\setminus\{x\}$ es un homeomorphism invariante. Así que si $X$ tiene un único punto de corte que corta el espacio en $n$ componentes, y $Y$ tiene un corte único punto que corta el espacio en $m\neq n$ componentes, entonces sabemos que $X$ $Y$ no homeomórficos. Usted debe tratar de probar estas declaraciones.
Travis
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Si $f: X \to Y$ es un homeomorphism, entonces para cualquier $x \in X$, el restringido mapa $$f\vert_{X - \{ x \}}: X - \{ x \} \to Y - \{ f(x) \}$$ es un homeomorphism, donde $X - \{ x \}$ $Y - \{ f(x) \}$ están dotados con el subespacio de las topologías inducidas, respectivamente, por $X$$Y$.
En particular, si $X$ $Y$ son espacios topológicos y no hay puntos de $x \in X, y \in Y$ tal que $X - \{ x \}$ $Y - \{ y \}$ son homeomórficos, $X$ $Y$ son en sí mismos no homeomórficos.
Comentario Esta línea de ideas puede ser utilizado para demostrar que la unión de dos distintas, líneas que se intersectan en, por ejemplo, $\mathbb{R}^2$ no es un colector, que es un estándar de principios de contraejemplo en la teoría topológica colectores.
Simone
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Si dos espacios topológicos, decir $X$ $Y$ son homeomórficos, por definición, tiene un bicontinous bijection $f:X\rightarrow Y$, por lo que se puede considerar una restricción de $f$ a el subespacio topológico $X-\{p\}$ donde $p\in X$. Esta restricción es un bijection entre el $X-\{p\}$ $Y-{f(p)}$ y es trivialmente bicontinous, por lo que es un homeomorphism. Esto puede ser hecho por todos los $p\in X$, así que si usted puede encontrar un punto en el que este no es, lo que implica que $f$ no es una homeomorphism.
