Tiene la Isbell–Freyd criterio se ha usado para comprobar que una categoría es concretisable?

Question

Isbell dio, en Dos conjunto teórico teoremas en categorías (1964), un criterio necesario para las categorías a ser concretisable (es decir, para admitir a algunos fieles functor en conjuntos). Freyd, en Concreto (1973), mostró que Isbell del criterio también es suficiente.

Mi pregunta es: ¿alguien Ha usado Isbell criterio de la verificación de que una categoría es concretisable?

Estoy interesado no sólo en ver el teorema es invocado formalmente en la impresión, para mostrar algunos categoría es concretisable - aunque, por supuesto que sería una respuesta perfecta, si es que sucedió. Lo que yo también estoy interesado en el, y el sospechoso es más probable que se han producido, es si alguien encuentra el criterio de utilidad como una heurística para comprobar si una categoría es concretisable, en una situación en la que uno quiere que sea concreto, sino de encontrar un adecuado functor no es totalmente trivial. (Me estoy imaginando una situación similar a la functor adjunto teoremas: dan muy útil rápido heurísticas para adivinar si adjoints existen, pero si sugieren un adjunto no existe, generalmente hay una construcción explícita, así que son utilizados como heurística mucho más a menudo de lo que está formalmente invocada en la impresión.)

Lo que no estoy tan interesados en que se utiliza el criterio para confirmar que una espera que no concretisable categoría es, de hecho, no concretisable - estoy después de los casos en los que se utiliza en la espera de una positiva respuesta.

Answer 1

Hice esto una vez con la categoría de los planes en respuesta a esta pregunta, con la ayuda de Laurent Moret-Bailly. Pero, a continuación, Zhen Lin Bajos señaló que hay una evidente concretar functor. Tal vez no fue tan evidente hasta que estuvimos seguros de que estaba allí, sin embargo. Así que supongo que esto entra en el modo de "heurística" de la categoría. En la práctica, la Isbell-Freyd criterio de traducir el problema en algo más concreto (perdón por el juego de palabras!) que una expresión algebraica aparejador tenía una idea de cómo responder. En el momento, yo no sabía lo suficiente de geometría algebraica para responder a esta pregunta en el mío propio, por lo que la traducen en más geométrica idioma que yo podría pedir a alguien era un paso esencial para mí.

Esto ayudó a que, como Ivan Di Liberti señala en los comentarios, el criterio es especialmente sencillo en un finitely-completa categoría.

Answer 2

[Respuesta convertidos a partir de un comentario de Jiří Rosický en otra respuesta.]

Isbell, el criterio que se utiliza directamente en la tasa Libor a Barto del papel Accesible conjunto de functors son universales (pdf), Sección 4, para mostrar que la categoría de "accesible conjunto de functors" (es decir, accesible endofunctors en $\mathrm{Set}$) es concretisable. Un poco diferente de argumento, basado en el simple criterio de "regular-bien alimentado" por el finitely completar caso, se utiliza para este mismo ejemplo en Observaciones 5.5–6 de Adámek–Rosičký lo bonito que están libres de las terminaciones de las categorías? (arXiv:1806.02524)

Answer 3

Un proceso inverso a la categoría puede ser definido como una categoría donde cada $f$ admite un único regular inversa, es decir, un mapa de $g$ tal que $fgf=f$ e $gfg=g$. En [1], Kastl demuestra que cualquier local pequeño inversa categoría admite un fiel functor en $PInj$, la categoría de conjuntos y parcial de las inyecciones. La prueba verifica en primer Isbell del criterio, la obtención de un fiel functor a $Set$ y, a continuación, uno se demuestra un resultado general que da lugar a un fiel functor a $PInj$.

[1] J. Kastl. Inverse categorías. Studien zur Álgebra Anwendungen und ihre, 7:51– 60, 1979.