Sólo empecé a entender la Teoría de Galois cuando leí el libro de Janelidzes.
En el primer capítulo cubre la Teoría de Galois habitual y menciona, por supuesto, que una adjunción entre posets es una Conexión de Galois. Esto se categoriza hasta un nivel categórico como se describe aquí en nlab . Mencionan:
Es el caso particular en el que la 2-relación $R$ es el homfunctor $S^{op}×S\rightarrow Set$ ; la adjunción correspondiente es algo que Lawvere llama conjugación.
En el segundo capítulo, Janelidze aborda la Teoría de Galois de Grothendieck, pero no en:
en toda su generalidad, es decir, en el contexto de los Esquemas: esto requeriría una larga introducción técnica. Pero el espíritu del planteamiento de Grothendiecks se aplica al contexto de los campos.
Estos notas por Lenstra do. También menciona las Categorías de Galois (mientras que Janelidze no lo hace) y esto enlaza con la Reconstrucción de Tannaka-Krein .
En el cuarto capítulo, además de mencionar el Espectro de Pierce, que es una variación interesante del Espectro de Zariski y enlaza con los Espacios de Piedra, menciona descenso monádico efectivo
En su acepción más específica descenso es el estudio de las generalizaciones de la condición de la gavilla en presheaves a presheaves con valores en categorías superiores.
El descenso es monádico cuando el pseudofunctor, también conocido como 2-presheaf, en su avatar de categoría fibrada (por la construcción de Grothendieck) son bifibraciones. Esto permite el uso de mónadas . También menciona presheafs internos que son un concepto de la Teoría de Categorías Enriquecidas.
En el capítulo cinco, Janelidze relativiza estos conceptos en el contexto de las categorías de trozos como preparación para demostrar el Teorema de Galois Categorial Abstracto.
Esto se amplía en el capítulo siete al "Teorema de Galois no Galoisiano" eliminando la condición de Galois sobre el descenso efectivo, y mediante el Teorema de Joyal-Tierney lo sitúa en el contexto de las Toposis de Grothendieck.
NLab continúa diciendo:
Para $K$ un campo let $Et(K)$ ser su pequeño sitio étale. Y que $\bar{E}:=Sh(Et(K))$ sea el topos de la gavilla sobre ella. Este topos es un
- topos local
- topos conectados localmente
- topos conectados
Entonces las extensiones de Galois de $K$ corresponden precisamente a los objetos localmente constantes en $\bar{E}$ . La subcategoría completa sobre ellos es el topos de Galois $Gal(\bar{E})\rightarrow \bar{E}$ .
El grupo de Galois es el grupo fundamental del topos.
Por lo tanto, concluyen:
Por consiguiente, en la teoría de los topos, la teoría de Galois trata generalmente de la clasificación de las láminas localmente constantes. El grupo de Galois corresponde al grupo fundamental del topos.
Esto puede establecerse en Teoría de Topos superiores donde a cohesivo estructura en el topos superior se utiliza para hacer pasar las construcciones.
Proposición. Para $H$ es decir, un -topos:
- conectado localmente
- -conectado,
Tenemos una equivalencia natural $LConst(X)\backsimeq Grpd[(X),Grpd_{\kappa}]$ de pilas localmente constantes en $X$ con representaciones de -permutación del -groupoide fundamental de $X$ .
Uno, debería aquí hacer la conexión con la clasificación usual de espacios de cobertura topológicos:
Sea $X$ sea un espacio topológico, es decir
-
conectado localmente
-
conectado
entonces, $Cov(X)\backsimeq Top[\pi (X),Set]$
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¿Podrían las personas que voten a favor del cierre comentar por qué? De acuerdo, este no es mi campo en absoluto, pero parece que hay al menos una pregunta real aquí, y parece apropiado dar al OP algunos comentarios.
3 votos
Estoy de acuerdo con Noah. Es una buena pregunta, y unas buenas respuestas también serían muy útiles para los demás. No hay necesidad de perder el tiempo con downvotes.