Cuando es un irreductible esquema cuasi-compacto?

Question

El estándar de ejemplos de esquemas que no son cuasi-compacta o no noetherian o tiene un número infinito de irreductible componentes. También es fácil de encontrar no separados irreductible ejemplos. Pero hay otros ejemplos?

Pregunta: Vamos a $X$ ser localmente noetherian esquema y asumir que $X$ es irreductible (o tiene un número finito de irreductible de los componentes) y separados. Es $X$ cuasi-compacto (es decir, noetherian)?

Si la respuesta es no, en general, lo que las condiciones en $X$ son suficientes? Localmente finito de tipo más de un noetherian base esquema de $S$? Fracción de campo finitely generan sobre una base? Lo que si $X$ es regular? En general, la pregunta es fácilmente reducido a los casos en que $X$ es normal e integral.

Ciertamente parece que la respuesta es sí al $X$ es localmente finito de tipo más de $S$. La Idea de la prueba: Escoja un abierto denso afín $U\subseteq X$, elija un compactification $\overline{U}$ y modificar $X$ e $\overline{U}$ de manera tal que el encolado $Y=X\cup_U \overline{U}$ está separado. A continuación, $Y=\overline{U}$ (por la densidad y separatedness) es correcta y, por tanto, cuasi-compacto.

Observación 1: Si $X\to S$ es una de morfismos, a continuación, la irreductible de los componentes del esquema de Hilbert Hilb(X/S) son correctas. El punto sutil (en el no-proyectiva caso) es el cuasi-compacidad de los componentes (que puede ser probado por una táctica similar, como se describe anteriormente).

Observación 2: Si $X\to S$ es universalmente cerrado, a continuación, $X\to S$ es cuasi-compacto. Esta es la pregunta 23337.

Answer 1

Hay liso contraejemplos. Deje $S_0$ ser un liso separados irreductible esquema sobre un campo $k$ con dimensión $d > 1$, e $s_0 \in S_0(k)$. Volar $s_0$ para obtener otro esquema de $S_1$ con $\mathbf{P}^{d-1}_k$ sobre $s_0$. Volar una $k$punto $s_1$ sobre $s_0$ conseguir $S_2$, y seguir adelante. Obtener los pares de $(S_n, s_n)$, de modo que al abrir complementar $U_n$ de % de $s_n$ en $S_n$ está abierto en $U_ {n+1}$ y es estrictamente contenida en él. La cola en la evidente forma, para obtener una superficie lisa irreductible $k$-esquema. Es localmente finitos tipo, pero no es cuasi-compacto (ya que el $U_n$ es un abierto de la cubierta sin finito subcover). Este es separada (ya sea por la consideración directa de los afín a abrir la solapa, o mediante el uso de la valuative criterio).

Answer 2

Yo tenía en mente el ejemplo de un separado, localmente noetherian, irreductible esquema regular de la dimensión 1, que no es cuasi-compacto, espero que sea correcta: vamos a $X$ ser separados integral (localmente) noetherian esquema de dimensión $\ge 1$ de manera tal que el conjunto $F$ de los puntos de codimension 1 en $X$ es infinita ($X$ podría ser afín a la línea a través de un campo). Deje $\xi$ ser el genérico punto de $X$ e $K(X)=O_{X,\xi}$. Construimos un nuevo esquema de $X'$ por el encolado de todo el $U_x:={\mathrm Spec} (O_{X,x})$, $x\in F$, a lo largo de $\xi$. A continuación, $X'$ es localmente noetherian regular de la dimensión $1$ (debido a $U_x$ es el espectro de un DVR), irreductible, porque $\xi$ es el único punto genérico, y por separado debido a la canónica mapa de $O_{X,x}\otimes O_{X, y}\to K(X)$ es surjective si $x\ne y \in F$. Pero $X'$ no es cuasi-compacto debido a la cubierta { $U_x$ }$_{x\in F}$ no puede ser refinado mediante un número finito de cubierta.

Answer 3

En realidad, Nick Proudfoot y yo hemos estado hablando por años acerca de la irreductible suave superficie construida de countably muchas copias de ${\mathbb A}^2$ por encolado $(p,q)$ en la $n$th copia a $(p^2q,p^{-1})$ en la $n+1$th copia. Esto incluso tiene un ${\mathbb G}_m$ acciones $\lambda \cdot (p,q) = (\lambda p, \lambda^{-1} q)$, una forma simpléctica $dp \wedge dq$, y un momento de mapa de $(p,q) \mapsto pq$ cuyo cero de la fibra es una cadena infinita de las líneas. Esto también puede ser considerado como el tóricas variedad asociada a un fan de infinita tipo en el avión. Parece ser otra manera de describir Ekedahl del ejemplo.

Answer 4

Esto es sólo una elaboración en BCnrd de ejemplo para ilustrar que no es forma patológica sino que aparece de forma muy natural.

Para empezar, podemos dejar la partida variedad se $\mathbb P^1\times\mathbb P^1$. Este es un tóricas variedad descrita por el ventilador en $\mathbb R^2$ dado por los cuatro cuadrantes (y el enrejado es $\mathbb Z^2$). La voladura de $(0,0)$ corresponde a la adición de la halfline a través de $(1,1)$ (y los conos en lado). Luego sopla $0$ hasta $(0\colon1)$ sobre el excepcional curva corresponde a la adición de la halfline a través de $(2,1)$. Continuar de esta manera corresponde a la adición de la halflines a través de $(n,1)$ y pasar el límite que da el ventilador consiste en el cuadrante tres y los fans se extendió por $(n,1)$ e $(n+1,1)$ para $n\ge 0$. Concretamente, los afín tóricas de opciones correspondiente a la fan se extendió por $(n,1)$ e $(n+1,1)$ ha afín álgebra generada $r_i=xy{-i}$ y $s_i=x^{-1}y^{i+1}$ e (donde $x$ e $y$ son generadores para coordinar anillo del toro). Tenga en cuenta que tenemos $r_is_i=y$ una relación en términos de uno de las coordenadas así como a $r_{i+1}s_{i}=1$.

Podemos hacer la construcción más simétrica por la voladura también los puntos en los $\infty$ de los divisores excepcionales. Esto corresponde a la adición de la halflines a través de $(1,n)$ y para el afín anillos dejando $i$ ejecución sobre todos los números enteros. Este la construcción, a continuación, funciona a través de una discreta valution anillo de $R$ con generador (decir) $\pi$. Luego colocamos $r_is_i=\pi$ e incrustar el anillo generado por ella en $K[x,x^{-1}]$ mediante la asignación de $r_i=x\pi^{-i}$ e $s_ix^{-1}\pi^{i+1}$. Esto le da un esquema localmente finito de tipo más de $\mathrm{Spec}R$ cuyo genérico es de fibra de $\mathbb P^1_K$ y cuya especial de fibra es una línea infinita de $\mathbb P^1$'s (el $(0\colon1)$ identificado con $(1\colon0)$ de la siguiente). Tenemos una autormorphism $\varphi$ de este esquema de toma de $r_i\mapsto r_{i+1}$ y $s_i\mapsto s_{i+1}$ que en el genérico de la fibra se lleva a $x$ a $x\pi^{-1}$. Es cambia el $\mathbb P^1$'s. Podemos considerar ahora la finalización oficial con respecto al punto de cierre de $\mathrm{Spec}R$. En ella $\varphi$ actúa correctamente continuamente para que podamos construir el cociente. La resultante esquema formal es adecuada y puede ser algebraised (al $R$ es completa). El esquema resultante es la Tate de la curva.

Más invariante en el camino de la construcción de ventilador es considerar el casco convexo de la celosía puntos de abrir el primer cuadrante y, a continuación, dibuje halflines a través de la celosía de puntos en el límite de este casco. Como estos puntos son exactamente los $(1,n)$ e $(n,1)$ tenemos el ejemplo anterior. Podemos hacer lo mismo en el siguiente situación: vamos a $K$ ser un verdadero cuadrática campo, dejar que el cono $C$ ser se extendió por el totalmente positiva elementos de $K$ y dejar que el entramado ser el algebraica de los números de $K$. Podemos entonces construir el ventilador mediante la adición de halflines a través de la rejilla de puntos en el límite del casco convexo que nos da una toric esquema localmente finitos tipo. El totalmente positiva unidades de $K$ actúa sobre este ventilador y se puede tomar el cociente de la finalización oficial como antes. Este ofrece una resolución de un (particular) de la cúspide de la superficie modular de Hilbert asociados a $K$ (véase, por ejemplo, la Aod: cuerpos Convexos y la geometría algebraica).