La primera cosa a decir es que para que una norma para ser independiente
de algunos axiomas significa realmente dos cosas, es decir, que es
consistente con los axiomas, y también que la negación de la
la declaración es consistente con los axiomas. Y normalmente, el
las pruebas de estas dos cosas son esencialmente ajenos. Así que en su
caso, en donde la pregunta parece ser abierto, me atrevería a decir que
es un poco prematuro especular sobre la independencia plena, cuando
en lugar usted debe especular acerca de la coherencia de la
declaración, o la consistencia de la negación de la declaración.
La independencia se produce sólo cuando estas dos situaciones son las
caso.
La segunda cosa a decir es que por supuesto casi todos los que no son triviales
la instrucción es independiente de algunos muy débil conjunto de axiomas; que
no especificar que sistema axiomático que estaban considerando para
la independencia, pero la naturaleza de la independencia de las pruebas varía
mucho dependiendo del sistema que uno está considerando.
A menudo, las declaraciones que resultó ser independiente de la PA o algunos otros
débil sistema se puede demostrar en ZFC, y de manera similar a una declaración de que es
independiente de ZFC puede ser comprobable de ZFC más grandes cardenales
o algún otro sistema fuerte. Ninguna de las afirmaciones es independiente de cualquier
sentido absoluto, ya que en la teoría de la toma de una posición en la que
declaración, queda resuelto. Por lo que la propiedad de una declaración
ser independiente es lógico, pues, relativo a un determinado
axiomática del sistema.
Además, yo diría que la importancia filosófica de un
la independencia resultado puede variar un poco dependiendo de la
fondo para el sistema que se establezca. A mi modo de
el pensamiento, el hecho de que el PA no prueba, dicen, que $\epsilon_0$ es
fundado es menos preocupante filosóficamente que el hecho de que
CH y muchas otras declaraciones parece ser perturbado por ZFC más
cualquiera de los conocidos grandes cardenal axiomas, que son la coherencia sabio
la más fuerte de las teorías que sabemos, ya que en el primer caso se
podría mirarlo simplemente como una debilidad de la PA, pero en el último
caso que nos aparecen a la izquierda con un poco de angustia acerca de lo que es el verdadero
la verdad de la cuestión de CH.
Así que permítanme hablar de la forma en que un conjunto teórico de los enfoques de la
posibilidad de la independencia. Estas son algunas de las preguntas que
vienen a la mente cuando se considera la posibilidad de la independencia.
Es la afirmación de algo que podría ser cambiado por forzar?
La inmensa mayoría de los más conocidos de la independencia de los resultados en
las matemáticas son ZFC independencia de los resultados establecidos por el método
de forzamiento. Casi todos los naturales no trivial declaración de infinito
la combinatoria ha demostrado ser independiente de ZFC, obligando,
y tenemos un número enorme de los que ocurren naturalmente en declaraciones
las matemáticas que se sabe que son independientes de ZFC.
Sin embargo, en algunos casos, podemos decir que un enunciado puede
definitivamente no se muestra independiente por medio de forzar,
simplemente debido a su complejidad lógica. Específicamente,
el Shoenfield absolutismo teorema muestra que
cualquier $\Sigma^1_2$ declaración es invariante por forzar.
Por ejemplo, en el caso de tu ejemplo, parece haber
la complejidad de la $\Pi^1_1$, y esto significa que su declaración es
invariante por forzar. Por lo tanto, no será posible para demostrar su
declaración independiente de ZFC por medio de forzar. Esto no
quiere decir que no es independiente de ZFC, pero no va a ser probado
independiente de ZFC en la forma en que la mayoría de las instrucciones se sabe para ser
independiente de ZFC han demostrado ser independiente de ZFC.
Es la afirmación de algo que se convierten establecido, si un cierto conjunto
iban a ser contables? Cualquier conjunto dado puede convertirse en contable en
un forzando la extensión, y esta situación a menudo se asienta muchos
declaraciones específicas.
Es la declaración resuelto por la hipótesis continua, o por
Martin Axioma? Muchas declaraciones se puede demostrar la coherencia de las
ser una consecuencia ya sea de la hipótesis continua o la
generalizada hipótesis continua o por el axioma de Martin o de otros
los axiomas que son conocidos por ser relativamente consistente con ZFC. Este
es una forma muy común para los no-set-teóricos para establecer
la consistencia de los resultados, demostrando que la declaración de la
considerando son simplemente una consecuencia de las declaraciones acerca de que
la consistencia de los resultados ya son conocidos.
Es la declaración de una consecuencia de la existencia de grandes
los cardenales? Implica la existencia o consistencia de los grandes
los cardenales? A veces sucede que la existencia de grandes
cardenales puede implicar la verdad o la consistencia de una instrucción determinada,
o una determinada declaración implica la verdad o la consistencia de menor
grandes cardenales, y de esta manera la consistencia de la declaración de
encaja en el gran cardenal de la jerarquía. Esto tiene consecuencias para la
de la independencia. Por ejemplo, si cada conjunto de los reales es Lebesgue
medir,, $\omega_1$ es inaccesible a los reales, y por lo que el
la consistencia de esa situación con ZF implica la consistencia de
un cardinal inaccesible con ZFC. De ello se sigue que no podemos demostrar
incluso en Con(ZFC) sí (si esto es consistente) que ZF no
demostrar la existencia de un Lebesgue no medible conjunto. Hay
muchas situaciones similares, donde una sentencia dada $\varphi$ podría
implica la existencia de un interior modelo con un gran cardenal,
y por lo que se deduce que la consistencia de la declaración no puede ser
resultó sin asumiendo que al menos la consistencia de que los grandes
el cardenal hipótesis.
Para la independencia más que la más débil de los sistemas, tales como los habituales sistemas de
de segundo orden de la teoría de números, hay toda una lista de
preguntas que uno debe hacerse, y yo esperaría que algunos otros
MO los usuarios pueden elaborar sobre esto. Por ejemplo, Es la declaración de
algo que se resuelva en el mundo en el que todo
es computable? Si no, la declaración tiene la esperanza de ser
independiente de $\text{RCA}_0$, que es el universo de
de segundo orden de la teoría de números que consiste esencialmente de computable
sólo fija.
Finalmente, para probar que la declaración de $\varphi$ es independiente de
la teoría de la $T$ significa para comprobar que $T+\varphi$ es consistente y
también se $T+\neg\varphi$, y así que uno necesita para apreciar la profundidad y
la sutileza de la consistencia de las pruebas de las diversas teorías de la $T$ que
podría ser objeto de consideración.
