Álgebra lineal sin elección

Question

Consideramos el campo del álgebra lineal "habitual".

Q. ¿Qué aspectos de la misma pueden llevarse a cabo sin el Axioma de la Elección?

Q. ¿Aparecen fenómenos "exóticos" interesantes en presencia de (algún caso de) la negación del Axioma de Elección?

Sin Choice, los espacios vectoriales pueden tener una base (por lo tanto, en particular, ser dimensional ) o no y por lo tanto ser adimensional . [Como observa Andreas Blass en los comentarios, la terminología "dimensional/adimensional" debería utilizarse más bien para denotar la propiedad de tener todas las bases del mismo cardinalidad, en lugar de tener sólo a base, ya que hay espacios vectoriales con dos bases de diferente cardinalidad]

Q. ¿Podría la siguiente propiedad de un espacio vectorial $V$

Propiedad ( $\star$ ) Todo endomorfismo inyectivo de $V$ es un automorfismo.

¿es un sustituto válido de la dimensionalidad finita para la clase de espacios vectoriales no necesariamente dimensionales sobre un campo? ¿El álgebra lineal de los espacios vectoriales que verifica ( $\star$ ) sea razonablemente similar a la habitual para espacios de dimensión finita?

Answer 1

Algunas cosas sobre los espacios vectoriales que son consistente con el fracaso de la elección:

1. Los espacios vectoriales pueden tener bases de diferente cardinalidad. En particular, esto significa que la noción de "dimensión" no está bien definida. Se deduce del teorema del ideal primo booleano (que es estrictamente más débil que $\sf AC$ mismo) que si hay una base, entonces su cardinalidad es única. Véase Tamaños de bases de espacios vectoriales sin el axioma de elección para más detalles.

2. La existencia de una base ya no es hereditaria. Es decir, es consistente que haya un espacio vectorial que tenga una base, pero que tenga un subespacio que no tenga una base. Puedes encontrar el ejemplo en la respuesta de Goldstern Si $V$ es un espacio vectorial con una base. $W\subseteq V$ tiene que tener una base también? y lo que es aún más interesante es el hecho de que el espacio vectorial sin base tiene un complemento directo que tiene una base bien ordenada.

3. Es coherente que exista un espacio vectorial, que todos sus endomorfismos sean multiplicaciones escalares (lo que no es $(0)$ o el propio campo). En particular, todo endomorfismo no nulo es un automorfismo, y esto responde a tu última pregunta. En efecto, todo endomorfismo no nulo es un endomorfismo inyectivo y un automorfismo. Estos espacios fueron el tema principal de mi tesis de maestría, donde extendí un poco el resultado original de Lauchli (y la construcción) de tales espacios. Puedes encontrar un resumen del resultado general aquí: ¿Es la no trivialidad del dual algebraico de un espacio vectorial de dimensión infinita equivalente al axioma de elección?

4. Es consistente que exista un espacio vectorial, que no esté finitamente generado, que sea (naturalmente) isomorfo a su doble algebraico. En particular, esto puede ser $\ell_2$ . Ver mi respuesta en ¿El hecho de que este espacio vectorial no sea isomorfo a su doble-dual requiere una elección? para más detalles.

Hay otras propiedades que fallan para los espacios vectoriales no generados infinitamente en $\sf ZFC$ que son consistentes con el fracaso de la elección. La lista es larga, y estos son sólo algunos de los que podría escribir de la cabeza.

Que alguno de ellos sea equivalente al axioma de elección suele ser una cuestión abierta (y difícil). Pero suele ocurrir que si una propiedad requiere alguna forma de elección (como una base, o una extensión de functinoales, etc.) entonces puede fallar en modelos adecuados de $\sf ZF+\lnot AC$ .