Morfismos de una superficie de grupo a un grupo simétrico, levantó a la trenza grupo

Question

Deje $\Sigma_g$ ser el grupo fundamental de la cerrada de la superficie orientable de género $g\ge 2$; deje $B_n$ ser la trenza grupo en $n\ge 3$ trenzas; deje $S_n$ ser el grupo simétrico de $n$ letras; deje $p:B_n\to S_n$ ser la canónica epimorphism.

Cada homomorphism $f:\Sigma_g\to S_n$ levantar a $B_n$? Es decir, hay un homomorphism $\bar f:\Sigma_g\to B_n$ tal que $f=p\circ\bar f$?

Este es conocido por $n=3$, la prueba es ad hoc primaria cálculos (Héctor, Meigniez, Matsumoto, "los Extremos de las hojas de la Mentira foliaciones", J. Math. Soc. Japón 57 (2005), no. 3, 753--779.) Es cierto de todos los $n$? La pregunta es crucial para la construcción de algunos Mentira foliaciones.

Answer 1

En ciertos casos muy especiales, yo creo que esto puede ser contestada. En particular, si $f:\Sigma_g \twoheadrightarrow S_n$ a, $n\geq 4$ e $g \gg 0$, entonces el Teorema 6.20 de Dunfield-Thurston implica que el mapa de $f$ se determina a la acción de la asignación de grupo de clase por la imagen de la $f_\ast:H_2(\Sigma_g) \to H_2(S_n) \cong \mathbb{Z}/2$ (al $n\geq 4$). En el caso de que la imagen es cero, $f$ puede ser elegido para el factor a través de un handlebody de género $g$, y desde el mapa de factores a través de un grupo libre, este se eleva a $B_n$ ya que no hay ninguna obstrucción.

Si $f_\ast$ no es trivial, entonces habrá un ascensor iff $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2 = H_2(B_n)\twoheadrightarrow H_2(S_n)=\mathbb{Z}/2$ es surjective. Estoy bastante seguro de que este es cierto, y debe estar representado por un toro cuya fundamentales grupo generado por $\sigma_1, \sigma_3$ en el estándar de la trenza grupo de generadores. Solo hay que comprobar que este toro mapas homologically no trivialmente en $H_2(S_n)$, que creo que sigue a partir de la presentación de la doble cubierta de $S_n$.

Si $f$ no es sobre, entonces uno podría todavía intento de aplicar el Teorema 6.20 a su imagen. Deje $f(\Sigma_g)= H < S_n$. Entonces el Teorema 6.20 implica que para $g$ lo suficientemente grande, $f$ se clasifica a la asignación del grupo de clase por la imagen de $f_*: H_2(\Sigma_g)\to H_2(H)$, hasta las acciones de $Out(H)$. Deje $\tilde{H} = p^{-1}(H)$ ser la preimagen de $H$ en $B_n$. Si $p_{|\ast}: H_2(\tilde{H}) \to H_2(H)$ no es sobre (de nuevo, hasta que la acción de $Out(H)$), entonces uno podría encontrar un contraejemplo. Creo que hay una buena probabilidad de un subgrupo existente.

Answer 2

Como BS señalado, la cuestión se ejecuta desde los años 70. Para $n=3, 4$, después de Petersen la respuesta es positiva, ya que $S_n$ es una solución de grupo (su ejemplo 5.8). Para $n\ge 5$, la pregunta es abierta (ver Melikhov, problema 1.1); Melikhov le pregunta si cada genérico suave mapa de $\Sigma_1\to\Sigma_2$ entre dos superficies orientables ascensores para una incrustación $\Sigma_1\to\Sigma_2\times R^2$.

Hansen, V. L. "incorporación de finito que cubre los espacios en trivial paquetes" de Matemáticas. Ann. 236, 3 (1978), 239-243, doi:10.1007/BF01351369

Petersen, Pedro "la Gordura de las tapas". J. Reine Angew. De matemáticas. 403 (1990), 154-165, MR1030413.

Melikhov, S. A."Transversales fundamentales del grupo y se proyecta incrustaciones" Proc. Steklov Inst. De matemáticas. (2015) MR3488789