Además de la construcción de consideraciones.

Question

Con el fin de realizar el K-grupos de un anillo como el homotopy grupos de algún espacio asociado a ese anillo, Quillen propuso el siguiente (aproximadamente-esbozado) construcción:

Recordemos que $K_1(R) = GL(R)/E(R)$, por lo que estamos, al menos, buscando un espacio de $X$ con $\pi_1(X) = K_1(R)$. La clasificación de espacio de $K_1(R)$ es obvio que no es un candidato serio, pero podemos empezar con la clasificación del espacio de $GL(R)$ (dada la topología discreta), $BGL(R)$. Entonces, la elección de representante de los bucles de cuyas clases generar $E(R) \subset \pi_1(BGL(R))$, y, a continuación, adjuntar 2-celdas utilizando estos bucles en los límites, nos encontramos con algo que tiene un grupo fundamental de la $K_1(R)$. Además, ahora Quillen linda 3-las células esencialmente para corregir la homología posterior a la de los $BGL(R)$, que lo pasé mal en la adición de las 2-las células. Terminamos con un espacio denotado $BGL(R)^+$, en el que definimos $K_i(R) := \pi_i(BGL(R)^+)$.

Más específicamente, Quillen trató de encontrar un espacio de $BGL(R)^+$ para que $(BGL(R), BGL(R)^+)$ fue un acíclicos par (es decir, la inducida por el mapa de $H_*(BGL(R), M) \to H_{*}(BGL(R)^+,M)$ es un isomorfismo para todos los $K_1(R)$-módulos de $M$). Mi pregunta es

En la búsqueda de un espacio en el que se define K-grupos, ¿por qué es deseable encontrar algo para satisfacer la condición anterior, en la homología?

Mi mejor conjetura es que se observa que el $K_1(R) = GL(R)/E(R) = GL(R)_{ab} = H_1(GL(R), \mathbb{Z})$, e $K_2(R) = H_2(E(R), \mathbb{Z}) = H_2([GL(R), GL(R)], \mathbb{Z})$, y por lo que parece razonable que todos los K-grupos deben estar relacionadas a la homología de $GL(R)$ - y para el de arriba es de una puñalada en el que la preservación de la homología.

Estoy tratando de aprender acerca de K-teoría, pero, como con la mayoría de las presentaciones de matemáticas, estoy seguro, estoy viniendo a través de demasiados limpia, afeitada fórmulas y propuestas, totalmente divorciada de cualquier tipo de procesos mentales, grandes imágenes o menciones de lo que está tratando de hacer y para qué fines. Por favor compartir conmigo lo que creo que sucede; aquí, con el +-de la construcción, que es. (Y, si y sólo si no es completamente ajena pregunta, ¿qué tipo de K-teórica de los fenómenos sugiere que estos grupos deben ser homotopy grupos?)

Answer 1

Aquí están algunas ideas, obtenida a partir de la lectura de muchos textos sobre algebraica de K-teoría. Permítanme comenzar con algunos históricos observaciones, a continuación, tratar de dar un revisionista de la motivación de los plus de la construcción.

Primero de todo, es cierto, como dices que ya lo adivinó las definiciones de la parte inferior de K-grupos hicieron parecer el mayor K-grupos, lo que podría ser, tener la misma relación con la homología de GL(R) como el homotopy grupos de un H-espacio de oso a su homología de grupos; así, uno está ya buscando un H-espacio K(R) cuya homología está de acuerdo con eso de GL(R), con el fin de definir la mayor algebraica de K-grupos como homotopy grupos. Esta línea de pensamiento es amplificado por la observación de que la conocida parcial tiempo exacto secuencias que implican menor K-grupos parecía que plausiblemente podría surgir como el largo exacto de secuencias en homotopy grupos asociados a fibrations entre estas hipotéticas H-espacios.

Así que es posible que ya en este punto de ser natural para tratar de voltear GL(R) en un H-espacio, mientras que la preservación de su homología, que es lo que la + construcción no lo es. Sin embargo, los hechos de que:

1) la + construcción ignora el ciertamente crucial K_0-grupo; y

2) en cualquier caso, en el momento en que eran muy pocos los menores de K-grupos de extrapolar en el primer lugar

quiere decir que tal vez la de arriba es la falta de motivación para la definición y estudio de un aparentemente ad hoc de la construcción, como el + de la construcción.

Sin embargo, podemos tener en cuenta que Quillen la definición de la + construcción de vino en los talones de su trabajo en el Adams conjetura, durante el curso de la cual --- utilizando su experiencia en la homología de grupos finitos --- él fue capaz de producir un (mod l) homología de equivalencia

BGL(F) --> BU

cuando F es la clausura algebraica de un campo finito de característica distinta de l. Ahora, ESTA es una clasificación de espacio para el complejo K-teoría (en positivo grados), por lo que su homotopy grupos natural definiciones de la (topológico) algebraica de K-teoría de los números complejos. Además, por analogía con la teoría de la etale cohomology (conocido a Quillen), no es del todo descabellado suponer que, a partir de la (mod l) perspectiva, todos los algebraicamente cerrado campos de características diferentes de l debe comportarse de la misma manera como la teoría topológica de C. (Esto fue más tarde confirmado en el trabajo de Suslin.) A continuación, la de arriba (mod l) homología de equivalencia añade más peso a la idea de que la hipotética K-teórico del espacio K(F) estamos buscando debe tener la misma homología como BGL(F). Pero lo que es más, Quillen también se calcula la homología de BGL(F) si F es un campo finito, y encontró que este sea coherente con la combinación de los anteriores y un `Galois descenso" filosofía para ir a formulario de la clausura algebraica de F hacia abajo a la F.

Dicho esto, al final, hay una buena razón por la que además de la construcción de algebraica de K-teoría es difícil motivar a: es, de hecho, menos natural que las otras construcciones de la algebraica de K-teoría (grupo de finalización, Q la construcción, S-dot construcción... aplicada a vector haces, perfecto complejos, etc.). Esto es en parte debido a que tiene menos de un a priori de la estructura, en parte porque ignora K_0, en parte porque ha aplicabilidad, y en parte porque es técnicamente inconveniente (por ejemplo, para la producción de la fibra de las secuencias descritas anteriormente). Por supuesto, Quillen se dio cuenta de esto, que es por qué pasaba tanto tiempo trabajando en las otras construcciones. Probablemente la única reclamación de la primacía de la + construcción tiene es histórico: fue la primera interpretación que se le da, sin duda, en no pequeña parte a causa de personal contingencias --- Quillen era un experto en el grupo de homología.

De hecho, probablemente la mejor motivación para el + de la construcción, ahistórica, aunque puede ser-viene de la comparación con otro de la construcción, el grupo de la finalización de la construcción (desarrollado por Segal en su artículo "sobre las categorías y cohomology teorías"). De hecho, Segal de la construcción está muy bien-la motivación: es el preciso homotopy de la teoría de la analogía de la clásica procedimiento de ir de isomorfismo-clases de f.g. proj. módulos para el grupo de Grothendieck K_0 por formalmente girando a la suma directa de un grupo de operación. Para conseguir este homotopy teórico analógica, una "simplemente" lleva a lo largo de la isomorphisms en esta construcción (c.f. también Grayson artículo "mayor algebraica de k-teoría II"). La conexión con el plus de la construcción viene de el `grupo de la finalización teorema" (véase el McDuff-Segal artículo sobre este tema), que, bajo condiciones generales, permite calcular la homología de un homotopy-grupo teórico de la terminación en términos de la homología de la correspondiente isomorfismo de grupos. Si usted mira en el grupo de finalización teorema en el caso de que el espacio de f.g. proj. módulos sobre un anillo, vas a ver la conexión con el plus de la construcción.

Answer 2

Realmente no sé si esto ayuda, pero puede, en efecto, dar el plus de la construcción de la definición de $K$-grupos sin mencionar explícitamente homotopy grupos, y sin hacer el plus de la construcción:

$H_1BGL(R)$ es $K_1(R)$. Mapa de $BGL(R)$ a un Eilenberg-MacLane espacio de $BK_1(R)$ y considerar la homotopy de fibra.

Este espacio ha trivial $H_1$. Su $H_2$ es $K_2(R)$. Mapa a un Eilenberg-MacLane espacio de $B^2K_2(R)$ y considerar la homotopy de fibra.

Este espacio ha trivial $H_2$. Su $H_3$ es $K_3(R)$. Mapa a un Eilenberg-MacLane espacio de $B^3K_3(R)$ y considerar la homotopy de fibra.

Y así sucesivamente.

Answer 3

Para su comodidad (al menos el mío) y la integridad, quiero dar una explicación de Tom Goodwillie la respuesta, ya que no era obvio para mí como para demostrar la declaración que él hace. Quería dejar un comentario con su respuesta, pero se hizo demasiado largo. En resumen, el punto es que la aplicación del plus de construcción de los espacios definidos por Tom le da la conectivo que cubre (es decir, la Whitehead de la torre) de $BGL(R)^+$. Esto se deduce del hecho de que el plus de la construcción conserva algunos de fibra de secuencias.

Abreviar $X=BGL(R)$. Deje $F_1=X=BGL(R)$, y denotan por $F_{i+1}$ la $i$-th espacio construido por Tom, por lo que su demanda se convierte en $H_i(F_i) = \pi_i(X^+) = K_i R$. Explícitamente, los espacios de $F_k$ se define inductivamente por una de fibra de secuencia $$ F_{i+1}\longrightarrow F_i\longrightarrow K(H_i(F_i),i) $$ para cada una de las $i\geq 1$, donde el mapa de la derecha induce a la "identidad" en la $H_i$. Aplicar el plus de la construcción de esta fibra de la secuencia, se obtiene una nueva secuencia $$ (FS^+): \qquad\qquad (F_{i+1})^+ \longrightarrow (F_i)^+ \longrightarrow K(H_i(F_i),i)^+ \simeq K(H_i(F_i),i) \hphantom{\qquad\qquad\qquad} $$ donde se observa que la natural mapa de $K(H_i(F_i),i) \to K(H_i(F_i),i)^+$ es un débil equivalencia. Es importante destacar que, la nueva secuencia $(FS^+)$ es de nuevo una fibra de secuencia. Este resultado es una instancia de la proposición 3.D.3-(2) en la página 74 de Dror Farjoun del libro "espacios Celulares, null espacios y homotopy localización": la aplicación del plus de construcción para una fibra de la secuencia de la ruta de espacios conectados da una fibra secuencia tan larga como la homotopy tipo de la base del espacio se modifica con el plus de la construcción. De hecho, el libro de los estados que esto para cualquier anulación functor, y el plus de la construcción es uno de esos functor.

El grupo fundamental de la $(F_1)^+=X^+$ es abelian (es $K_1 R$, después de todo). Desde el fibration secuencia $(FS^+)$ para $i=1$ podemos concluir que los $(F_2)^+$ es simplemente conectado. Por otra parte, que la fibra de la secuencia es sólo $(F_2)^+\to X^+\to B(\pi_1(X^+))$, y se da cuenta de la $(F_2)^+$ como la universalización de la cobertura de $X^+$.

Podemos proceder inductivamente de esta manera. Más precisamente, a sabiendas de que $\pi_1((F_1)^+)=\pi_1(X^+)$ es abelian, podemos demostrar por inducción que para todo $i\geq 1$:

• El espacio de $(F_i)^+$ es $(i-1)$-conectado, y el Hurewicz teorema implica $\pi_i((F_i)^+)=H_i((F_i)^+)=H_i(F_i)$.

• Por lo tanto, el segundo mapa de la fibra de secuencia $(FS^+)$ anterior es un isomorfismo en $\pi_i$. En otras palabras, que la fibra de la secuencia es simplemente matar a $\pi_i$ de %de$(F_i)^+$.

• Por último, hay un canónica de equivalencia $(F_i)^+ \simeq (X^+)^{\geq i}$ de $(F_i)^+$ a de la $(i-1)$conectado a la cubierta de $X^+$ (también conocido como el $i$-ésima etapa de la Whitehead torre de $X^+$).

En consecuencia, $H_i(F_i)=H_i((F_i)^+)=H_i((X^+)^{\geq i})=\pi_i((X^+)^{\geq i})=\pi_i(X^+)$ como se desee.

Obviamente, el argumento anterior no es específico a $X=BGL(R)$. De hecho, sólo requerimos que la punta de espacio $X$ es la ruta de acceso conectado, y $\pi_1(X^+)$ es abelian.