Elevator pitch para el Virtual Fibering Teorema de

Question

Ha habido una gran cantidad de entusiasmo entre topologists acerca de la prueba de la Virtual Haken Teorema, y en el hecho de que el Virtual Fibering Teorema (por cerrado hiperbólico 3-variedades, pero supongo que pronto va a ser probado en todos los casos). La prueba es lúcidamente discutido en Danny Calegari del blog. Los teoremas del estado que cada compacta orientable irreductible 3-colector con infinito fundamental del grupo tiene un número finito de la cubierta que es Haken o un paquete de la superficie más de un círculo, correspondientemente. Esto implica varias cosas buenas para una 3-variedad con grupo fundamental de la π, incluyendo:

1. π es grande, lo que significa que π tiene un número finito de índice de los subgrupos que se asigna a un grupo libre con al menos 2 de los generadores. En particular, los números de Betti de finito cubre puede ser arbitrariamente grande.
2. π es lineal en $\mathbb{Z}$, es decir, π admite una representación fiel $\pi \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ para algunos $n$. (Thurston conjeturó que $n\leq 4$ es suficiente).
3. π es prácticamente biorderable.

Stefan Friedl, de cuyo comentario de la lista anterior es un extracto, se resume la situación de la siguiente manera:

Parece que cada propiedad fundamental de los grupos de los que uno pueda pedir cualquiera vale para π o de un número finito de índice de un subgrupo de π.

Todo bien y bueno. Pero, ¿cómo podría usted `vender' que a alguien que no es un clásico, orientado a 3-dimensional topologist? Un elevator pitch es definido por Wikipedia como sigue:

Un elevator pitch es un breve resumen de forma rápida y simplemente definir un producto, servicio u organización y su propuesta de valor. El nombre de "elevator pitch", refleja la idea de que debería ser posible para entregar el resumen en el lapso de tiempo de un viaje en ascensor, o aproximadamente treinta segundos a dos minutos. En El Perfecto Discurso de Ascensor, Aileen Pincus afirma que un " discurso de ascensor "debería" resumir los aspectos únicos de su servicio o producto de una manera que excita a los demás".

El Virtual Fibering Conjetura (o el Virtual Haken Conjetura) fue el gran conjetura en 3-colector de la topología de la siguiente Geometrización, y por lo tanto tienen/ deben/ debemos tener (creo) un convincente discurso de ascensor. Por el contrario, la Geometrización es fácil de "vender" porque se aplica directamente a la Homeomorphism Problema en 3-colector de topología: Dados dos 3-variedades, determinar si son o no son homeomórficos. La geometrización permite descomponer canónicamente ambos colectores en submanifolds con estructura geométrica y, a continuación, comparar geométricas invariantes. En términos de "Los Objetivos de la Investigación Matemática" como se indica en la introducción a La Princeton Compañero de las Matemáticas, esto se corresponde con el objetivo de Clasificar.

Pregunta: ¿Qué es un buen elevator pitch Virtual Fibering (o Virtual Haken), explicando la utilidad de estos resultados en términos de "los objetivos fundamentales de la investigación matemática" (Resolución de Ecuaciones, Clasificar, Generalizar, el Descubrimiento de Patrones, explicación de los Patrones y Coincidencias, Contar y Medir, y la Búsqueda Explícita de los Algoritmos). El objetivo sería que los matemáticos que no son en 3 dimensiones topologists.

Todos en el aproximado inmediaciones del campo instintivamente siente que estos son resultados históricos, pero me gustaría ser capaz de justificar ese sentimiento (en ese sentido) a mí mismo y a los demás.

Answer 1

OK, yo también le daré una oportunidad.

Primero de todo, no me gusta vender la Geometrización porque ayuda con la homeomorphism problema. La Geometrización Teorema es un objeto de gran belleza ("la mayoría de las 3-variedades son hiperbólico" debe ser una emocionante declaración de alguien en un ascensor que ha visto el arte de M. C. Escher), y la belleza de las matemáticas es generalmente un signo de que estamos en el camino correcto. Y, de hecho, la belleza de la Geometrización engendra todo tipo de resultados.

Con respecto a los nuevos resultados de Agol, Wise et al. uno quizás no debería saltar a la derecha a "virtual Haken" o "virtualmente fibrado" pero uno debe buscar en el "real teorema", la Prácticamente Compacto Especial Teorema que va como sigue:

Si $N$ es un volumen finito hiperbólico 3-colector, a continuación, $\pi_1(N)$ es prácticamente compacto especial, es decir, $\pi_1(N)$ es prácticamente un cuasi-convexa subgrupo de un Ángulo recto Artin Grupo (RAAG").

Uno puede explicar un RAAG " a cualquiera que haya visto el grupo de teoría en un ascensor entre 3 plantas. El hecho de que los "simples" objetos como RAAGs contener todos los hiperbólico 3-colector de grupos (hasta para ir a un determinado subgrupo de índice) es impresionante y hermoso. Todos los extras, por ejemplo, el gigantismo, lineal en $\mathbb{Z}$, virtual fibering, LERF, prácticamente biorderable etc vienen de la declaración (bueno, junto con Agol del fibering teorema, tameness etc.). Esto puede ser visto claramente por mirar el Diagrama 4 en una encuesta reciente de papel en 3-colector de grupos de autores cuyos nombres se me escapan en este momento. Es realmente impresionante cómo la Prácticamente Compacto Especial Teorema responde todas las preguntas abiertas a la vez. Es uno de los grandes logros de Dani Sabio de haber encontrado el "derecho a la instrucción".

(Tenga en cuenta que el gigantismo, lineal en $\mathbb{Z}$, biorderable NO siga de virtual fibering o virtual Haken solos).

De vuelta al ascensor:

Los resultados me hacen pensar que hiperbólico 3-variedades son como los de Jack en la Caja. Si usted toma un hiperbólico integral de homología de la esfera se mira en un pequeño colector, pero cuando se pulse un botón (es decir, ir a una adecuada finito, la 3-variedad de repente se convierte en un gran objeto de la belleza (por ejemplo, tiene como muchos fibrado caras en la Thurston norma bola como se podría desear).

(Esta analogía también funciona con la pequeña semilla, un poco de agua, flor de flor, etc. para la botánica mente ascensor compañero)

Así que, para concluir, creo que la Geometrización y Teorema de la Prácticamente Compacto Especial Teorema de Agol-Sabio son increíblemente hermosos resultados. El hecho de que las declaraciones son tan hermosas, la hacen altamente plausible que estaban en lo correcto, incluso antes de que fuera probado (no me puedo imaginar que cualquier persona seria dudaba de la conjetura de Poincaré después de Thurston declaró la conjetura de Geometrización). Y lo ideal es esta belleza que me gustaría comunicar.

Answer 2

Supongo que estoy obligado a hacer un intento de responder a esta :)

En primer lugar, el virtual fibering pregunta fue preguntado por Thurston: "¿Cada hiperbólico 3-colector de tener un finito-toldo de cubierta que fibras en el círculo? Este dudoso que suena pregunta parece tener una clara oportunidad para una respuesta positiva."

Cuando originalmente leer esto, me encontré con la pregunta intrigante, en parte porque es sorprendente como se hizo evidente en el fraseo. También, sin duda preguntas y conjeturas de los Campos de medallistas reciben a veces el una cantidad excesiva de atención (Thurston ha sido correcta para la mayoría de sus conjeturas y preguntas). Sin embargo, desde la perspectiva de Kleiniano grupos, esta pregunta es muy interesante, ya que doblemente degenerados Kleiniano grupos tienen una buena estructura (por ejemplo, dan lugar a grupo-invariante de las curvas de Peano en $S^2$).

Hay algunos grupos de la teoría de las consecuencias de virtual fibering:

• Si un hiperbólico 3-colector es prácticamente fibrado, su grupo fundamental de la no tiene la finitely generado intersección de la propiedad, que parece para ser de interés para algún grupo de teóricos.

• Virtual fibrado 3-colector fundamental grupos han propiedad FD introducido por Lubotzky y Shalom (finito de repeticiones. son densos en la central unitaria de doble con respecto a la Cayó la topología).

• Virtual fibering o virtual Haken implica que el grupo es "bueno", que a grandes rasgos significa que su cohomology se refleja en que de su profinite finalización.

  • El Lubotzky-Sarnak conjetura sostiene, a saber, hiperbólico 3-colector de grupos no tienen la propiedad $(\tau)$. De hecho, la Heegaard gradiente es cero.

Creo que puede haber algunas otras aplicaciones, y sin duda habrá más en el futuro.

Finalmente, la prueba de virtual fibering en todos los casos se basa en la grupo de teoría de la propiedad que yo llamo el "RFRS" condición (por residual finito racional solucionable). Esta condición tiene otras consecuencias, tales como el trenzado de Alexander polinomios detectar la Thurston norma, que ha sido aplicado por Friedl y Vidussi para el estudio de un mínimo de género superficies de 4 colectores de que la fibra de más de 3-variedades.

También debo mencionar que, recientemente, Przytycki y Sabios han demostrado que una 3-variedad con toro límite de los componentes es prácticamente RFRS si y sólo si se admite una no positivamente curva métrica, que en gran medida se generaliza Thurston pregunta.

OK, creo que el ascensor se ha ido todo el camino hasta la parte superior de la torre Sears y volver a bajar.