¿Los números de Betti más allá del primero tienen una interpretación de "número de cortes"?

Question

He oído decir lo siguiente

Teorema. Si $\Sigma$ es una superficie (orientable), entonces $\mathrm b_1(\Sigma)$ cuenta el número máximo de "cortes circulares" (círculos incrustados $C_1,\ldots,C_m$ ) que puedes hacer en $\Sigma$ sin desconectarlo (es decir, con $\Sigma\smallsetminus (C_1\cup\ldots\cup C_m)$ todavía está conectada).

¿Existe una interpretación similar también para números de Betti más altos $\mathrm b_k(M)$ de los colectores en general?

(Me lo ha preguntado un no-matemático, pero creo que encaja con MO. Si los topólogos aquí piensan que es demasiado trivial o bien conocido, por favor, moverlo a MSE).

Edit1: No estaría mal saber si el "teorema" anterior es en realidad un teorema, y una referencia a una demostración rigurosa.

Edición 2: En lo anterior, por "generalización" me refiero a una afirmación de la forma $b=b_k(M)$ cuenta el número máximo de submanifolds orientables incrustados $N_1,\ldots,N_b$ tal que $M\setminus (N_1\cup\ldots\cup N_b)$ tiene una clara propiedad topológica $\boldsymbol{\mathrm{P}}$ . Tal vez la propiedad $\boldsymbol{\mathrm{P}}$ podría tratarse de algún $(k-1)$ -¿condición de conexión? Para el $b_1$ caso, esto implicaría $0$ -conexión, es decir, sólo conexión, y este es el caso de $\dim M=2$ si el teorema que he citado antes es cierto.

Answer 1

He aquí una forma en que su observación sobre el primer número de Betti se generaliza a las variedades de mayor dimensión.

Supongamos que $M$ un colector liso compacto y orientable y $W$ es una submanifold orientable, cerrada y regularmente incrustada de codimensión 1. Entonces, si el número de componentes del camino de $W$ es mayor que el primer número de Betti $b_1(M)$ entonces $M \setminus W$ tiene más componentes de trayectoria que $M$ .

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Aquí está la prueba. Consideremos la secuencia exacta larga $$ \dots \to H_1(M \setminus W) \to H_1(M) \to H_1(M, M \setminus W) \to H_0(M \setminus W) \to H_0(M) \to H_0(M, M \setminus W) \to 0. $$ Desde $W$ está regularmente embebido, tiene una vecindad difeomorfa al haz normal (1-dimensional) $\nu$ de la incrustación. Por el axioma de escisión, existe un isomorfismo $$ H_k(M, M \setminus W) \cong H_k(\nu, \nu \setminus W). $$ (Aquí vemos $W$ como la sección cero de $\nu$ .) Desde $W$ y $M$ son orientables, el haz normal es orientable. Como el haz normal es orientable de dimensión 1, existe un isomorfismo de Thom $$ H_k(\nu, \nu \setminus W) \cong H_{k-1}(W). $$ Por lo tanto, parte de nuestra secuencia exacta se convierte en $$ \dots \to H_1(M) \to H_0(W) \to H_0(M \setminus W) \to H_0(M) \to 0. $$ El rango de $H_0(W)$ es el número de componentes del camino de $W$ Así que si $W$ tiene más componentes de trayectoria que $b_1(M)$ entonces el mapa $H_1(M) \to H_0(W)$ no puede ser surjetivo. Si no es sobreyectiva, entonces la imagen de $H_0(W)$ en $H_0(M \setminus W)$ no es trivial. Como esta imagen es el núcleo del siguiente mapa, el mapa $H_0(M \setminus W) \to H_0(M)$ no es inyectiva. Pero este mapa sólo puede dejar de ser inyectivo si hay más componentes del camino en $M \setminus W$ que los que hay en $M$ .

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He aquí algunas observaciones sobre esta prueba.

• La diferencia entre el número de componentes del camino de $W$ y $b_1(M)$ en realidad nos da un límite inferior en el número de nuevos componentes del camino en $M \setminus W$ y si $b_1(M) = 0$ obtenemos un recuento exacto.

• Si eliminamos la palabra "orientable" en todas partes y sustituimos la homología por la homología mod-2 en todas partes, obtenemos un límite similar utilizando el número de Betti mod-2. Esto hace que podamos eliminar el submanifold no orientable $\Bbb{RP}^2 \subset \Bbb{RP}^3$ y seguir teniendo un espacio conexo, aunque esto no puede ocurrir para los submanifolds orientables de $\Bbb{RP}^3$ .

• Tal y como está planteado, el argumento es sólo en una dirección. No da garantías de que podamos encontrar un submanifold orientado $W$ con $b_1(M)$ componentes conectados para que $M \setminus W$ sigue conectado.

• Si sustituimos la codimensión 1 en este argumento por la codimensión $r$ En cambio, obtenemos una secuencia exacta $$ \dots \to H_r(M) \to H_0(W) \to H_{r-1}(M \setminus W) \to H_{r-1}(M) \to 0. $$ Por el mismo argumento, esto nos permite decir: si $b_r(M)$ es menor que el número de componentes conectados de $W$ el mapa $H_{r-1}(M \setminus W) \to H_{r-1}(M)$ no puede ser inyectiva. Esto no es tan contundente como la afirmación de los componentes del camino, pero el teorema de Rham nos dice que sigue indicando algo sobre la existencia de nuevas formas diferenciales en $M \setminus W$ .

• No creo que, en el problema original, quisieras que los submanifolds fueran disjuntos. Si en cambio tenemos submanifolds conectados, cerrados, regularmente embebidos y orientables $W_1,\dots,W_d$ de codimensión $k$ que se cruzan transversalmente, se puede demostrar mediante un argumento inductivo más complicado con la secuencia (relativa) de Mayer-Vietoris que $H_k(M, M \setminus \cup W_i)$ tiene un rango de al menos $d$ y encontrar que el mapa $H_{d-1}(M \setminus \cup W_i) \to H_{d-1}(M)$ tiene un núcleo de rango al menos $d - b_k(M)$ .

Answer 2

Editar. He entendido mal la pregunta, así que lo que sigue puede no ser relevante, pero puede ser útil de todos modos.

El número de corte $c(M)$ de un colector $M$ suele definirse como el número máximo de submanifolds de dos caras disjuntas de codimensión 1 cuyo complemento es conexo. Al colapsar dicha configuración en un grafo, se ve que $\pi_1(M)$ se proyecta sobre el grupo libre con $c(M)$ generadores. Esto implica que $H_1(M)$ se proyecta sobre el grupo abeliano de rango $c(M)$ y por lo tanto $$b_1(M) \geq c(M).$$ Sin embargo, ocurre que estos dos números suelen ser distintos. Véase, por ejemplo este documento de Harvey .

(Colapsar en un gráfico significa que se eligen vecindades tubulares disjuntas $S\times [-1,1]$ del submanifold conectado de dos lados $S\subset M$ entonces se colapsa el complemento de todas estas vecindades tubulares a un punto $p$ y también cada factor $S\times [-1,1]$ a un arco $[-1,1]$ con puntos finales en $p$ .)