Cuánto de homotopy teoría se puede hacer utilizando sólo finito de espacios topológicos?

Question

Deje $X$ ser finito simplicial complejo y deje $B$ denota el conjunto de barycenters de los simplices de $X$. McCord construido un $T_0$ topología en $B$ con la propiedad de que la inclusión $B \to X$ es un débil homotopy de equivalencia. Clader mostró que la geometría de la realización de la $X$ puede ser recuperado hasta homeomorphism por iteración McCord la construcción de la $n$th subdivisión baricéntrica de $X$, teniendo un límite inversa, y pasando a un cierto espacio cociente. Además demostró que el inverso límite de deformación se retrae hacia el cociente de espacio y por lo tanto cada finito simplicial complejo es homotopy equivalente a la inversa de límite finito de espacios.

Este es un resultado sorprendente (aunque el choque desaparece rápidamente una vez que te paras a pensar en ello), y esto me lleva a preguntarme:

Sería posible prescindir de la lengua de simplicial complejos completamente y volver a escribir las bases de homotopy usando teoría de finito de espacios topológicos y su inversa límites?

Principalmente estoy interesado en saber si esto es o no es posible, a pesar de que usted puede sentirse libre para incluir en su respuesta observaciones acerca de si esto es o no es deseable. Algunas de las posibles complicaciones que vienen a la mente:

• Muchos de los importantes espacios topológicos (por ejemplo, la clasificación de los espacios para la mayoría de los grupos) no tienen el homotopy tipo de un número finito de simplicial complejo.
• Uno no tiene acceso a ciertas herramientas, tales como un Morse teoría.

Tal vez uno puede esperar aproximado de lo que se pierde el uso de modelos finitos?

Answer 1

Vidit, gracias por la publicidad; Pablo voy a responder a su correo electrónico en breve. Como un punto menor, hay una pequeña pero sutil error en Clader del trabajo que se ha corregido en Mateo Thibault del 2013 Chicago tesis, que va para seguir en esa dirección.

Tengo la intención de terminar el anunciado libro, pero es demasiado incompleta para circular sin embargo. De hecho, hay una amplia e interesante imagen que se conecta la corriente principal algbraic topología combinatoria a través de espacios finitos.
Sin embargo, el nivel adecuado de generalidad es $T_0$-Alexandroff espacios, $A$-espacios para el corto. Estos son espacios topológicos en la que arbitrario, no sólo finito las intersecciones de abrir los conjuntos son abiertos, y por supuesto finito $T_0$-espacios son ejemplos obvios. Uno puede, en principio, la respuesta a la pregunta de Pablo en la afirmativa, pero la finitud de restricción se siente artificial y la conexión entre el $A$-espacios y simplicial complejos es demasiado estrecha como para ignorar.

La categoría de $A$-espacios es isomorfo a la categoría de parque natural posets, $A$-espacios naturalmente, dan lugar a pedido simplicial complejos (el orden complejo de un poset) y por lo tanto a simplicial conjuntos, mientras resumen simplicial complejos de forma natural dar lugar a $A$-espacios (el de la cara poset). La subdivisión es central para la teoría, y la subdivisión baricéntrica de un poset es WHE a la cara poset de su orden complejo. Categorías conectar desde la segunda subdivisión de una categoría es un poset, que ayuda a iluminar Thomason la equivalencia entre el homotopy categorías de $\mathcal{C}at$ e $s\mathcal{S}et$.

Débil y real homotopy equivalencias son totalmente diferentes para $A$-espacios. En el mundo normal de los espacios, que corresponden a homotopy equivalencias y simple homotopy equivalencias, respectivamente, un punto de vista que Barmak del libro se centra en. El $n$-esfera es WHE a un espacio con $2n+2$ puntos, y que es el número mínimo posible.

Si el poset $\mathcal{A}_pG$ de los no-trivial de primaria abelian $p$-subgrupos de un finito grupo $G$ es contráctiles, a continuación, $G$ tiene un normal $p$-subgrupo. Un célebre conjetura de Quillen dice en este lenguaje que si $\mathcal{A}_pG$ es débilmente contráctiles (WHE a un punto), entonces es contráctiles y, por tanto, $G$ tiene un normal $p$-subgrupo. Hay muchos interesante contráctiles finito de espacios que no son débilmente contráctiles.

Estos hechos sólo arañar la superficie y fueron casi todo lo anteriormente conocido, pero hay mucho que es nuevo en el libro, algunos de ellos debido a que los estudiantes en Chicago, donde me han enseñado este material en nuestra REU y apagar desde el año 2003. Este es el material ideal para el propósito. (Obsoleto notas e incluso los actuales se puede encontrar en mi página web, por aquellos con el suficiente interés para la búsqueda: Minian, Barmak del asesor de tesis en la ciudad de Buenos Aires, encontré allí y comenzó el trabajo en la Argentina sobre la base de ellos.) Me disculpo por esta extensión de anuncio, pero tal vez la pregunta de Pablo me da una excusa razonable.

Answer 2

Pedro ha estado trabajando en un libro entero (o tal vez sólo un conjunto completo de notas de la conferencia?) a resolver tu pregunta exacta (y mucho más). El preprint que compartió conmigo se llama

Pedro, "Finito de espacios y contextos más grandes"

pero no puedo encontrar una copia en línea y no estoy seguro de que yo debería vincular a la mina sin su permiso. Tal vez usted podría enviarle un correo electrónico y pedir uno?

Así que supongo que la respuesta corta a tu pregunta es que no sólo es posible, sino que se ha realizado. Una de las moralejas de Pedro del libro, tan lejos como puedo recordar, es que la diferencia entre "homotopy-equivalencia" y "débil homotopy equivalencia" se convierte en algo drásticos cuando se trata con finito de espacios, mientras que es en gran parte un no-problema para CW complejos gracias a Whitehead del teorema.

Por último, me gustaría señalar que no es un sabor de Morse teoría que trabaja directamente sobre el nivel de conjuntos parcialmente ordenados, y por lo tanto, sería adaptable a espacios finitos (pero no sé si alguien lo ha hecho ya, ciertamente, no era en Pedro preprint). Véase, por ejemplo, el Capítulo 11 de

Dmitry Kozlov, Combinatoria algebraica topología, Springer (2007).