Arrolla la Cuerda en un Cuadro de

Question

¿Cuál es la más larga de la cuerda de longitud L de radio r que puede caber en una caja? La cuerda es una curva suave con un tubular barrio de radio r, tal que la cuerda no auto-penetrar. En una curva, cada extremo está rodeado por una bola de radio r. Para una caja de dimensiones $1{\times}1{\times}\frac{1}{2}$ y la cuerda con la $r=\frac{1}{4}$, quizás $L=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4} \approx 1.3$, alcanzado por una 'U':
           
Sé el embalaje de los círculos en un cuadrado es un difícil problema, pero tal vez es más fácil colocar una cuerda en un cubo, ya que el la continuidad de la curva que limita las opciones? (Estoy luchando con esto, que cada otoño, el embalaje de un tubo de jardinería en una bañera rectangular.) Estoy más interesado en general, las estrategias para el mejor de la bobina de la cuerda, en lugar de los valores específicos de L. Parece que si r es grande w.r.t. las dimensiones de la caja (como en el ejemplo de arriba), no "penny-embalaje" de la sección transversal de la estructura es posible, donde una capa anida en las grietas de la capa anterior.
Esta es una pregunta natural y sin duda ha sido explorado, pero no he encontrado mucho.

Edición 1. Parece una curvatura de la restricción es necesaria para conservar la naturalidad: La curva no debe dar vuelta tan bruscamente que los discos de radio r ortogonal a la curva de que determinan el tubular barrio se compenetran.

Edición 2 (26Jun10). Véase también el MO pregunta sobre decidability.

Edición 3(12Aug10). Aquí está una observación sobre la versión 2D, donde un $1 {\times} 1 {\times} 2r$ cuadro sólo puede acomodar una capa de cuerda. Si $k=\frac{1}{2r}$ es un entero par, entonces puedo ver dos estrategias natural para el devanado de la cuerda dentro de la caja:
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ Rojo es de la cuerda de núcleo, azul marca el límite de la cuerda.

Curiosamente, si he calculado correctamente, la longitud de la red de la cuerda de la curva de es idéntico para los dos estrategias: $$L = 2 (k-1)[r \pi/2] + 2(k-1)^2 r \;. $$ Para $r=\frac{1}{16}$, $k=8$ como se ilustra, $L=\frac{7\pi}{16} + \frac{49}{8} \approx 7.5$. (Como un cheque, para $r=\frac{1}{4}$, $k=2$, y $L$ evalúa a $\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$ como en la primer ejemplo de arriba).

Answer 1

Parte de esta pregunta tiene una naturaleza ad hoc que, en mi opinión, weakeans como una pregunta de matemática. Cuánto espaguetis puedes meter en un Volkswagen Escarabajo? Comentario: un poco más que de lo contrario, si usted recuerda abrir la guantera. Bueno, la pregunta no es tan malo, pero es claramente sensible a los límites de comportamiento. Si usted permite que la caja sea arbitraria convexidad (dicen), entonces quién sabe si puede ser resuelto por completo.

Así que vamos a ver en el límite independiente de la parte de la pregunta. En 2 dimensiones, si usted tiene un convexa de la caja de cualquier forma con un gran inradius, entonces no es difícil mostrar que la asintótica de la densidad de la cuerda es de 1. Usted puede ir hacia atrás y adelante a través de la caja en un boustrophedonic patrón (como el diagrama de la izquierda).

En 3 dimensiones, uno puede especular que la asintótica de la densidad de la cuerda es $\sqrt{\pi}/12$, el mismo que el círculo de la densidad de empaquetamiento en el plano. Hay un teorema de Andras Bezdek y mi papá, Włodzimierz Kuperberg, que la máxima densidad en el espacio de embalaje con congruente circular cilindros de longitud infinita es alcanzado cuando los cilindros están en paralelo. Su teorema incluye el caso especial de la cuerda de la pregunta en la que la mayoría de la cuerda es paralelo a sí mismo. (Por otro lado, no es bastante obvio que todo teorema es un caso especial. Dado un montón de rígido, recto espaguetis, siempre se puede conectar eficientemente los extremos para hacer un largo de fideos?) En cualquier caso, le pedí a mi papá este asintótica de la cuerda de la pregunta, y en su opinión, es un problema abierto. Una cuerda parece mucho más difícil de controlar que la recta cilindros.

Además, que yo sepa, las mismas preguntas relativas a la recta, redonda o cilindros de una cuerda larga en dimensiones superiores también están abiertas.

Es mi filosofía de que un argumento de un problema abierto es válido MO respuesta a un MO pregunta.