Resumo las dos primeras páginas de Kedlaya, Una construcción de polinomios con discriminantes sin cuadrado
Cuando $P$ es irreducible y el discriminante $\Delta(P)$ es libre de cuadrados, el campo numérico $\mathbb{Q}[x]/P(x)$ tiene un anillo de enteros $\mathbb{Z}[x]/P(x)$ ... Cuando los coeficientes de $P$ se eligen al azar, se espera que esto ocurra con probabilidad $\prod_p a_p$ ... donde $a_p$ denota la probabilidad de que $\Delta(P)$ no es divisible por $p^2$ . Estas probabilidades se han calculado mediante Brakenhoff :
Omitiré la tabla, pero todos son de la forma $1-O(1/p^2)$ por lo que el producto es distinto de cero.
Por desgracia, ... parece bastante difícil demostrar que un polinomio toma valores libres de cuadrados con la probabilidad esperada ...
A continuación, Keldaya resume el trabajo de Granville y Poonen que, asumiendo la conjetura ABC, implica que $\Delta(P)$ es libre de cuadrados con probabilidad $\prod a_p$ donde el límite se toma sobre casillas en $\mathbb{Z}[x]_{\deg n}$ de una forma determinada (aproximadamente, mucho más larga en una dirección que en las demás).
Sin embargo, sin asumir ninguna conjetura, es difícil establecer incluso la existencia de infinitos polinomios de un grado dado con discriminante libre de cuadrados.
Kedlaya explica entonces que la construcción de infinitos polinomios de este tipo es su principal resultado.
En resumen, hay una buena conjetura para la probabilidad del discriminante libre de cuadrados, pero no se puede demostrar incondicionalmente que sea incluso positiva. El discriminante libre de cuadrados es un poco más especial que $\mathbb{Z}[x]/P(x)$ integralmente cerrado, pero creo que esto es sugerente.
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Esta es una pregunta relevante de MO mathoverflow.net/questions/21267/ que no responde a la suya, por desgracia. Me pregunto si su proporción proviene de las obstrucciones locales.
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Esto no responde a tu pregunta, pero... quizás te interese saber que para familias de polinomios bastante específicas $P$ (en lugar de todos los $P$ con altura acotada), Bardestani tiene algunos resultados de densidad: arxiv.org/abs/1202.2047
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Por si le interesa a alguien: la proporción del 60% encontrada es conjeturada por Lenstra como $\frac 6 {\pi^2}$ (véase el documento de Ash--Brakenhoff--Zarrabi mencionado en la respuesta de David Speyer).