Parametrización de la frontera del conjunto de Mandelbrot

Question

¿Alguien sabe cómo parametrizar la frontera del conjunto de Mandelbrot? No soy un geómetra fractal ni una persona de sistemas dinámicos. Sólo tengo una curiosidad ociosa sobre esta cuestión.

El conjunto de Mandelbrot se define habitualmente como el conjunto $M$ de todos los puntos $c\in\mathbb{C}$ tal que los iterados de la función $z\mapsto z^2+c$ a partir de $z=0$ , permanecen acotados para siempre. La mayoría de las representaciones muy bonitas del conjunto de Mandelbrot muestran $M$ como intersección de una secuencia infinita de conjuntos $M_1\supset M_2\supset M_3\supset\cdots$ donde el límite de $M_i$ es la curva $|z_i(c)|=K$ . Aquí $z_i(c)$ es el $i$ iteración de $z\mapsto z^2+c$ a partir de $z=0$ y $K$ es alguna constante que garantiza que los futuros iterados escaparán. Estas curvas $\partial (M_i)$ guían al espectador para ver las partes cada vez más intrincadas del conjunto de Mandelbrot.

Cada una de estas curvas $\partial(M_i)$ es analítico y cerrado. Por lo tanto, se pueden parametrizar muy bien con una serie trigonométrica. Para ser más específicos, cada frontera tiene una parametrización de la forma $$z(t)=\sum_{k=0}^\infty a_k\cos(kt)+i\sum_{k=0}^\infty b_k\sin(kt).$$ (De hecho, como cada límite $\partial(M_i)$ está determinada por una ecuación polinómica en las partes real e imaginaria de $c$ Creo que cada una de estas series debería terminar. Corríjanme si me equivoco). Yo pensaría que el camino limitante también debería tener una bonita parametrización con una serie trigonométrica. ¿Es este límite el mismo para todos los $K$ ? Si el límite no es el mismo para todos $K$ entonces hay un límite como $K\rightarrow\infty$ ? ¿Qué son los coeficientes de Fourier?

Answer 1

La respuesta de Lasse se amplió: Deja que $\psi$ sea el mapa del exterior del disco unitario sobre el exterior del conjunto de Mandelbrot, con la serie de Laurent $$ \psi(w) = w + \sum_{n=0}^\infty b_n w^{-n} = w - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} w^{-1} - \frac{1}{4} w^{-2} + \frac{15}{128} w^{-3} + 0 w^{-4} -\frac{47}{1024} w^{-5} + \dots $$ Entonces, por supuesto, el límite del conjunto de Mandelbrot es la imagen del círculo unitario bajo este mapa. Sin embargo, esto depende de la conectividad local (aún no demostrada) de ese límite. Aquí, para los coeficientes $b_n$ no existe una forma cerrada conocida, pero se pueden calcular recursivamente. Por supuesto, ponemos $w = e^{i\theta}$ y entonces esto es una serie de Fourier.

Answer 2

No estoy muy seguro de lo que está preguntando. El límite del conjunto de Mandelbrot no es ciertamente una curva analítica. De hecho, un famoso resultado de Shishikura muestra que la frontera del conjunto de Mandelbrot tiene dimensión Hausdorff 2.

De hecho, ni siquiera se sabe si el límite es una curva en absoluto (es decir, localmente conectada): esta es actualmente probablemente la conjetura más famosa en la dinámica holomórfica unidimensional.

Si el conjunto de Mandelbrot es localmente conectado, entonces existe una descripción natural de la frontera del conjunto de Mandelbrot (como los valores de la frontera del mapa de Riemann del complemento de $M$ ); también se sabe que es una descripción combinatoria natural en muchos sentidos. Sin embargo, como se ha mencionado anteriormente, esta parametrización no es analítica, ni siquiera $C^1$ .

Answer 3

Para ampliar la respuesta de Gerald Edgar, algunas frases clave que debes buscar son "potencial Douady-Hubbard" y " rayos externos ."

Un rayo externo es la imagen del rayo $\arg z = \theta$ por el hecho de ser fijo $\theta$ bajo el mapa conforme de Gerald $\psi$ .

El potencial de Douady-Hubbard es sólo el conjugado armónico del argumento del rayo externo: es el potencial para el que los rayos externos son las líneas de campo.

Estoy bastante seguro de que no se ha demostrado que $\psi(\zeta)$ está bien definida para todos los $\zeta$ en el círculo unitario, pero creo que se conjetura que es así. (A veces se dice que el rayo externo "aterriza".) Sin embargo, los rayos externos en ángulos racionales $2\pi m/n$ se sabe que aterrizan, y además, la dinámica en los puntos de aterrizaje en la frontera está relacionada con la fracción $m/n$ de una manera muy agradable. (Hay una analogía entre el mapa de duplicación $\theta \mapsto 2\theta$ en el círculo y mapas holomórficos $z\mapsto z^2+c$ y la dinámica de $\theta$ bajo el primer mapa están relacionados con la dinámica del $z\mapsto z^2+c_\theta$ mapa, donde $c_\theta$ es el punto de aterrizaje del rayo correspondiente en la frontera del conjunto de Mandelbrot). Así pues, esta parametrización de la frontera es realmente un objeto importante y natural (si está bien definido, como se conjetura).

Answer 4

$\psi(w)$ se llama función Jungreis

Aquí hay algunas imágenes, código y descripción mostrando algunas parametrizaciones :

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jungreis.svg - utilizando la función Jungreis

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lemniscates5.png

círculo a la parametrización de los límites

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jung200.png

Método Newton :

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_set_Component_by_Newton_method.png

círculo al componente ( o su parte) :

http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Mandelbrot_set_Components.jpg

Answer 5

Mi conjetura sería que esa parametrización no funcionaría. Intente algo similar para una estructura más simple (en ciertos puntos de vista) como un copo de nieve de Koch. ¿Su enfoque de la parametrización le permitiría generar una función basada en $n$ ¿el número de iteraciones recursivas utilizadas para generar el copo de nieve hasta una determinada profundidad? Creo que no. Podría ser posible, al menos para la curva de Koch, parametrizar el casco de la "banda elástica" alrededor de ella, pero eso sería trivial para la mayoría de los objetos definidos recursivamente.