¿Por qué nos interesa la cohomología?

Question

Llevo más de medio año estudiando topología algebraica y me he encontrado con muchos temas diferentes de ella (grupos fundamentales, Van Kampen, homología singular, teoría de la homología, Mayer Vietoris, teorema del coeficiente universal, teoría de los nudos, etc.) y recientemente hemos empezado a estudiar la cohomología en nuestra clase.

Definimos la cohomología, demostramos el teorema del coeficiente universal y con ello pudimos demostrar bastantes resultados análogos que ya habíamos demostrado para la homología.

Mis preguntas:

¿Por qué queremos estudiar la cohomología? ¿Existen algunas ventajas de calcular la cohomología de un espacio topológico dado en comparación con el cálculo de su grupo de homología? ¿Existen algunos resultados realmente sorprendentes/fascinantes que dependan en gran medida de las propiedades/teoremas cohomológicos?

Answer 1

Una cuestión importante es la estructura multiplicativa que hay en la cohomología. Esto permite distinguir espacios que tienen la misma homología. Como ejemplo, el $X:=\mathbb CP^2$ y $Y:=S^2\vee S^4$ . Entonces ambos $X$ y $Y$ son complejos CW con una celda de dimensiones $0$ , $2$ y $4$ . Por lo tanto, en ambos casos la homología con coeficientes integrales es $\mathbb Z$ en grados $0$ , $2$ y $4$ y $0$ en todas las demás dimensiones. Esto implica fácilmente que también los grupos de cohomología con coeficientes integrales son $\mathbb Z$ en grados $0$ , $2$ y $4$ y $0$ en todas las demás dimensiones. Sin embargo, para $X$ el cuadrado de un generador de $H^2$ es un generador de $H^4$ mientras que para $Y$ este cuadrado es cero. (El resultado para $X$ se deduce fácilmente, por ejemplo, del hecho de que el cuadrado de la forma de Kähler sobre $\mathbb CP^2$ es una forma de volumen, para $Y$ es bastante obvio que no habrá relación entre $H^2$ y $H^4$ .)

Esto demuestra que $\mathbb CP^2$ no es equivalente en homotopía a $S^2\vee S^4$ lo que a su vez implica que los dos mapas de unión $S^3\to S^2$ utilizado para los dos espacios no puede ser homotópico, es decir, que el Hopf-fibrado no es nulo-homotópico.

Otra cuestión es que en algunas situaciones el hecho de que la cohomología sea un functor contravariante es extremadamente útil. Por ejemplo, para un grupo topológico $G$ existe un espacio clasificatorio $BG$ que lleva un principal $G$ -Asamblea $EG\to BG$ . Esto tiene la propiedad de que para cualquier espacio suficientemente bonito $X$ cualquier haz principal sobre $X$ puede escribirse como un retroceso $f^*EG$ y $f^*EG\cong g^*EG$ si y sólo si $f$ y $g$ son homotópicos. Así que un haz principal te da un mapa clasificador $f:X\to BG$ . Usando este mapa, uno puede ahora sacar clases de chomología de $BG$ a las clases de cohomología en $X$ . Las tesis están canónicamente asociadas al haz, ya que los mapas homotópicos inducen el mismo pullback en cohomología. Esta es la versión topológica de la teoría de las clases características y no funcionaría con la homología.

Answer 2

Hay varios puntos elementales que se pueden hacer :

• Por otro lado, ¿por qué considerar sólo la homología? No veo por qué una sería más natural que la otra (en realidad para mí la cohomología parece más natural porque estoy acostumbrado a temas donde la cohomología aparece naturalmente).
• Hay teorías de cohomología que son claramente útiles y naturales y que están relacionadas con la cohomología singular: cohomología de Rham, cohomología de grupos y cohomología de Galois, cohomología de gavillas, por ejemplo. Suelen aparecer cuando uno está interesado en derivar un functor exacto de la izquierda y no uno exacto de la derecha, lo cual... sucede.
• Hay teoremas de dualidad (todo tipo de variantes de la dualidad de Poincaré) que hacen uso de la cohomología, así que incluso si en última instancia te interesa la homología, estudiar la cohomología puede ser útil.
• La cohomología lleva naturalmente una especie de estructura algebraica dada por el producto taza, que es realmente útil en muchas situaciones.

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Pondré un ejemplo explícito procedente del álgebra, ya que es lo que mejor entiendo. Tomemos $G$ un grupo finito, y $X = K(G,1)$ el espacio de Eilenberg-MacLane correspondiente (así $\pi_1(X)=G$ y $\pi_i(X)=0$ si $i>1$ ). Entonces se puede escribir $H_n(G,A) := H_n(X,A)$ y $H^n(G,A):= H^n(X,A)$ para cualquier grupo abeliano $A$ .

Se trata de un caso especial de homología/cohomología de grupo (es decir, el caso en el que $G$ actúa trivialmente sobre $A$ ). Y aunque la homología de grupo es bastante útil (por ejemplo, el teorema de Hurewitz dice que $H_1(G,\mathbb{Z}) = G^{ab}$ ), la cohomología de grupo aparece con más frecuencia, por lo que la cohomología singular en este contexto es más útil.

Ahora bien, si no te interesan los grupos puede que no estés contento con eso, pero incluso si sólo te interesa la topología, claramente $X = K(G,1)$ es un espacio interesante ya que es "el espacio que sólo tiene $\pi_1(X) = G$ en su homotopía". Así que la comprensión de los mapas $Y\to X$ es claramente una cuestión natural.

Y si $G$ es abeliano se tiene el resultado de que para cualquier complejo CW $Y$ , $[Y,K(G,n)] \simeq H^n(Y,G)$ por lo que la cohomología singular (con coeficientes) clasifica los mapas a los espacios de Elenberg-MacLane (hasta la homotopía).

Answer 3

A) La cohomología debe considerarse como un álgebra conmutativa graduada, por lo que es un invariante más fino. Esto permite algunas definiciones bastante interesantes, por ejemplo, el invariante de Hopf.

b) Si $M$ es una variedad de dimensión adecuada, entonces se tiene $b_{n-k}=b_k$ para los números de Betti (demostrado mediante la dualidad de Poincare, que implica la cohomología). A veces es más fácil calcular la cohomología y utilizar los teoremas de dualidad para deducir información sobre la homología.

c) Clases características

d) El teorema de Rham, estableciendo vínculos con la cohomología geométrica diferencial.

e) La cohomología es un functor representable.

f) (relacionado con c) Teoría de la intersección.

g) la cohomología suena más sofisticada que la homología, por lo que permite presumir mejor entre los plebeyos