Pregunta ingenua acerca de la construcción de construibles de las poleas.

Question

En la geometría algebraica, una etale gavilla en un Noetherian esquema se llama edificable si el sistema tiene un número finito de la estratificación por nivel local cerrado subschemes tal que el pullback de la gavilla para cada uno de los subschemes es lcc (localmente constante edificable). Esta definición parece tener sentido tanto para las poleas de abelian grupos y las poleas de los conjuntos. No hay una definición similar en topología algebraica y no tengo ninguna duda de que los análogos de mis preguntas pueden ser formuladas en la topología algebraica mundo.

Realmente no tengo una buena sensación para estos edificable gavillas, y, al volver a leer la definición recientemente, me di cuenta de que yo podría fácilmente formular preguntas sencillas acerca de la construcción de tales cosas, que yo no podía responder. Permítame hacerle la pregunta más general en primer lugar, que podrían ser demasiado general para tener una respuesta razonable.

Pregunta General. Decir que tengo un Noetherian esquema de $X$ y me da una estratificación por un número finito cerrado subschemes $U_i$. Decir que tengo lcc poleas en cada una de las $U_i$. Qué datos necesito para pegar estos poleas para obtener un edificable gavilla en $X$?

Si tengo la suerte de, a continuación, hay algunos slick cocycle relacionados con la respuesta y todos podemos ir a casa contento. Pero yo no soy un gran fan de estos tipos generales de la pregunta, así que aquí están algunos completamente determinados casos especiales---el más simple no-trivial (como lo que me refiero), que ya estoy un poco indeciso sobre.

Q2 Deje $X$ ser afín a la línea a través de los complejos. Deje $P$ denotar el origen y deje $U$ ser $X\backslash P$. Hasta el isomorfismo, ¿cuántos edificable gavillas de conjuntos hay en $X$, cuya retirada se a $U$ es la constante gavilla de conjuntos de tamaño 1 (representado por la identidad de $U\to U$) y cuya retirada se a $P$ es la constante gavilla de conjuntos de tamaño 2 (representado por $P\coprod P\to P$)?

Hay, supongo, dos conceptos de isomorfismo: uno puede imaginar que el tallo por encima de $P$ es un conjunto dado de tamaño 2 y la demanda que isomorphisms debe inducir la identidad de este conjunto, o uno sólo puede exigir que el isomorfismo induce un bijection en el tallo en $P$. Me he dado cuenta de que personas diferentes de interpretar la pregunta de diferentes maneras así que permítanme pedir que el isomorfismo induce una arbitraria bijection, para fijar ideas.

Yo soy un poco de miedo a las gavillas de series porque el inicial y el terminal de objetos en la categoría de conjuntos no son isomorfos, y esto me tropecé un poco cuando yo estaba tratando de responder a la Q2. No tenemos un problema en la categoría de abelian grupos, así que quizá sea un lugar más seguro:

Q3 $X$ afín a la línea, $P$ el origen y $U$ el resto, como antes. ¿Cuántas clases de isomorfismo de construibles gavillas de abelian grupos en $X$ son de allí, cuyo tallo en $P$ es cíclico de orden 4 y cuya retirada se a $U$ es constante y cíclico de orden 2?

¿Cuál es la motivación para la Q2 y la Q3? Hay varias respuestas. La motivación es, ciertamente, no "necesito saber las respuestas a estas preguntas!". Una posible respuesta es "me siento como que no puedo decir que entiendo edificable poleas, a menos que pueda responder a estas preguntas básicas". El otro es "lo que realmente quiero saber es la respuesta a la pregunta general, pero me preocupa la cuestión general es demasiado vaga, así que yo estoy pidiendo casos especiales de la misma, en orden a conseguir una sensación para la pregunta general".

Answer 1

Me pregunto si esto puede ser suficiente para sus propósitos: suponga que tiene un esquema de $X$, reducir hasta en un abrir subscheme $U$ y un cerrado subscheme $Z$ apoyado en el complemento de $U$ en $X$. Deje $j:U\to X$ e $i:Z\to X$ en las inclusiones. Deje $F$ ser un \'etale gavilla de los conjuntos en $X$. Uno deriva de $F$ un triple $$ (j^*F, i^*F, \phi: i^*F\i^*j_*j^*F). $$ El $\phi$ obra proviene de la restricción de la contigüidad de morfismos $F\to j_*j^*F$ a $Z$. La formación de la triple es functorial en $F$. El resultado functor proporciona una equivalencia de categorías a partir de la categoría de \'etale poleas en $X$ a la categoría de triples $$ (A,B,\phi:B\a i^*j_*A), $$ donde $\phi$ es cualquier gavilla de morfismos.

En la medida en que usted puede calcular el $j_*$ e $i^*$, por lo tanto puede describir poleas en $X$ en términos de poleas en $U$ e $Z$. La construcción de la parte inferior de una estratificación de $X$ por cerrado subschemes, usted podría, por tanto (por la concesión de una capacidad de computar $i^*$ e $j_*$) describir las poleas en $X$ edificable con respecto a su estratificación. (La realización de los cálculos, está a la par con probar que $j_*$ conserva constructibility.)

Por ejemplo, en la Q2, que se extiende $A = 1_U$ través $Z = P$, y desea $B = 1_Z + 1_Z$. La gavilla $i_*j^*A$ es $1_P$. Desde este haz es terminal, no hay una única edificable $F$ a $X$ que restringe a $A$ a $U$ e $B$ a $Z$; corresponde a la triple $(A,B,\phi)$ donde $\phi:B\to i^*j_*A$ es el único gavilla de morfismos.

En la Q3, ya que se trabaja con abelian poleas, usted debe considerar la $A=(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})_U$ e $B=(\mathbf{Z}/4\mathbf{Z})_Z$ como abelian gavillas, y deberá exigir $\phi$ a ser un homomorphism de abelian las poleas. Desde $$ i^*j_*A = (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})_Z, $$ hay dos opciones para $\phi$ en triples $(A,B,\phi)$, correspondiente a $1\mapsto 1$ e $1\mapsto 0$.