Un ultrafilter es un conjunto de subconjuntos que contiene exactamente un elemento de cada partición finita: referencia de la solicitud

Question

Probablemente hay docenas de maneras de definir "ultrafilter". La definición que he visto más a menudo implica en primer lugar la definición de "filtro", luego de declarar a un ultrafilter a ser un máximo de filtro.

Pero hay otro, de forma más breve estado de la definición:

Deje $X$ ser un conjunto. Un ultrafilter en $X$ es un conjunto $\mathcal{U}$ de los subconjuntos tales que para todas las particiones $$X = X_1 \amalg \cdots \amalg X_n$$ de $X$ a un número finito $n \geq 0$ de los subconjuntos, no es exactamente una $i$ para que $X_i \in \mathcal{U}$.

Me sorprendería si este no estaba en la literatura en algún lugar, pero no he sido capaz de localizarlo. Alguien puede ayudar?

En realidad, hay una aún más económico definición: en lugar de permitir a $n$ ser cualquier número natural, que los lleve a ser 3. Por lo tanto, la condición es que cada vez que $X = A \amalg B \amalg C$, exactamente uno de $A$, $B$ y $C$ es de $\mathcal{U}$. (Lo mismo funciona con 4, o 5, etc., aunque no con 2.) Estoy principalmente interesado en la versión con arbitraria $n$, lo que parece más natural, pero si has visto la $n = 3$ versión en la literatura, a continuación, me gustaría escuchar acerca de eso también.

Editar Para ser claros, cuando yo uso la palabra "partición" no me refiero al suponer que los conjuntos de $X_i$ son no vacíos. Sólo quiero decir una familia de pares de conjuntos disjuntos $X_i$ cuya unión es $X$. Se puede estar vacía.

Answer 1

La otra formulación está estrechamente relacionada con la siguiente definición fundamental de la Teoría de Ramsey

Definición: Dejar $\phi : 2^X \to \lbrace\text{true},\text{false}\rbrace$ ser una propiedad perteneciente a los subconjuntos del conjunto $X$. La propiedad $\phi$ se llama partición regular si, para cada partición $$X = X_1 \uplus X_2 \dots \uplus X_n$$ tenemos $\phi(X_i)$ durante al menos un $i$.

Claramente, cada ultrafilter corresponde a una partición regular de la propiedad, $\phi(Y) = Y\in\mathcal U$. En la otra dirección, es razonablemente fácil de ejercicio para demostrar que cada partición regular la propiedad está dada por una colección de ultrafilters $\phi(Y) = \bigvee \lbrace Y \in \mathcal U : \mathcal U\rbrace$. Véase, por ejemplo, el teorema 3.11 en Hindman y Strauss "el Álgebra en la Piedra-Čech compactification".

Dicho esto, nunca he visto a la formulación fija $n$, como $n=3$, antes de.

Answer 2

La primera página de Google me dio:

Galvin notas del curso Cor. 2.7...

Qiaochu Yuan blog

Tal vez más en la segunda página?