Unicidad de la compactación de un extremo de un colector

Question

Dejemos que $M$ ser un $n$ -de la Tierra (liso o topológico). Llamo $\bar{M}$ a compactación de $M$ si es un $n$ -de una variedad compacta de dimensiones con límite $\partial \bar{M}$ , un $(n-1)$ -de la que se puede decir que es un colector de dimensiones, de tal manera que $M$ es el interior de $\bar{M}$ . Entiendo que no todos los colectores $M$ tiene tal compactación. Los obstáculos han sido discutidos en algunas preguntas anteriores de MO ( 22441 , 34602 ). Esencialmente, no puede existir ninguna compactación si el termina del colector son demasiado "salvajes".

Sin embargo, me interesa más cómo se relacionan dos compactaciones entre sí, siempre que existan. Para simplificar, vamos a suponer que $M$ sólo tiene un extremo y existe una compactación. Si $\bar{M}_1$ y $\bar{M}_2$ son ambas compactaciones, ¿qué se puede decir de la relación entre ellas y entre $\partial\bar{M}_1$ y $\partial\bar{M}_2$ ? ¿Existe algún tipo de compactación "universal" $\bar{M}_U$ a partir de la cual ambos $\bar{M}_1$ y $\bar{M}_2$ ¿se puede obtener? Si estas preguntas son más fáciles de responder en la categoría topológica, entonces estaría bastante contento con sólo esa información.

He aquí un ejemplo. Considere $M=\mathbb{R}^n$ ( $n\ge 2$ ). Tiene un extremo. Una compactación obvia es considerarla como el interior de una bola cerrada $\bar{M}_1=\bar{B}^n$ por lo que el límite es una esfera $\partial\bar{M}_1=S^{(n-1)}$ . Sin embargo, puedo aplicar una homotopía a $\bar{B}^n$ que mapea el límite en sí mismo y restringe a un homoemorfismo en el interior. La composición de esta operación con la incrustación de $M$ en $\bar{M}_1$ Obtengo una compactación diferente $\bar{M}_2$ . Por construcción, existe un mapa $\bar{M}_1 \to \bar{M}_2$ que es un homeomorfismo entre los interiores pero sólo una homotopía entre los límites. En particular, la homotopía podría hacer estallar un punto en $\partial\bar{M}_1$ a un conjunto cerrado con interior abierto. Entonces dos curvas que tenían el mismo punto final en la frontera de $\bar{M}_1$ podrían ser mapeados a curvas con puntos finales distintos en el límite de $\bar{M}_2$ . Basándome en este ejemplo, supongo ingenuamente que $\mathbb{R}^n$ se puede compactar añadiendo un $S^{(n-1)}$ límite y todas las demás compactificaciones pueden obtenerse aplicando una homotopía a cualquier elemento de esta clase de compactificaciones. Por tanto, esta compactación podría considerarse universal. ¿Qué tan lejos está esta intuición de la realidad?

Conozco recursos como L. Tesis de Siebenmann y el libro Extremos de los complejos por Ranicki y Hughes. Desgraciadamente, no tengo suficiente formación algebraica y topológica para ver inmediatamente si contienen la respuesta o cómo desenterrarla si la tienen. Así que las sugerencias precisas sobre dónde buscar también serían útiles.

Answer 1

Consideremos los objetos lisos, estoy más familiarizado con ellos. Primero hay que precisar las definiciones. En particular, " $M$ es el interior de $\bar M$ "no está claro; supongo que quiere decir que $M$ es difeomorfo al interior de $\bar M$ . Pero entonces, debe precisar si la compactación es el dato de únicamente $\bar M$ o si son los datos de ambos $\bar M$ y una incrustación suave $M\to\bar M$ . La noción de isomorfismo debe entonces precisarse (lo más natural es la existencia de un difeomorfismo $\bar M_1\to\bar M_2$ en el primer caso; en el segundo se puede elegir entre: existencia de difeomorfismos $\bar M_1\to \bar M_2$ y $M \to M$ haciendo que el diagrama cuadrado obvio sea conmutativo, o la existencia de un difeomorfismo $\bar M_1\to\bar M_2$ haciendo que el diagrama triangular obvio sea conmutativo). Supondré que estamos en el primer caso.

De todos modos, probablemente la referencia más importante para empezar a investigar tu pregunta es "Two complexes which are homeomorphic but combinatorially distinct" de Milnor, Ann. of Math. (2) 74 (1961), pp. 575--590, donde se demuestra que las variedades con límite $L_{7,1}\times \bar B^5$ y $L_{7,2}\times \bar B^5$ no son difeomorfos pero tienen interiores difeomorfos. Este ejemplo no existe en la dimensión $3$ (Edwards, "Concentricity in $3$ -manifolds", Trans.AMS 113 (1964), pp. 406--423).

Además, Barden, Mazur y Stallings han encontrado una $h$ -cobordismo $(\bar W,M,M')$ , donde $M$ es difeomorfo a $M'$ y el interior de $\bar W$ difeomorfo a $M\times ]0,1[$ pero $\bar W$ no es difeomorfo a $M\times [0,1]$ (véase la "torsión de Whitehead" de Milnor en el Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966) pp.358--426 si creo en mis viejas notas). En particular, conocer el interior y el límite de un colector no es suficiente para conocer el colector mismo.

En cuanto a las compactaciones de $\mathbb{R}^n$ es una consecuencia de la $h$ -de que la única variedad compacta con frontera que tiene un interior difeomorfo a $\mathbb{R}^n$ , donde $n\geqslant 6$ es la bola cerrada (hasta el difeomorfismo). Para $n=5$ añadiendo la prueba de Freedman de la topología $4$ -La conjetura de Poincaré en su dimensión se obtiene el mismo resultado hasta el homeomorfismo. Para $n=4$ La cuestión está abierta hasta donde yo sé.

Answer 2

Supongamos que $\overline{M}_i$ , $i=0,1$ son variedades compactas y lisas con límite cuyos interiores son difeomorfos: sea $\psi$ sea un difeomorfismo de este tipo, y $M$ para cualquiera de los dos interiores (identificados a través de $\psi$ ). Para ambas variedades se puede encontrar un collar suave $c_i : \partial \overline{M}_i \times [0, 1) \hookrightarrow \overline{M}_i$ ya que son compactas. Al encoger $c_0$ (y re-parametrización) podemos suponer que tiene imagen dentro de la de $c_1$ (restringido al interior, comparado a través de $\psi$ ), y entonces obtenemos una incrustación $$\partial \overline{M}_0 \times [\tfrac{1}{2}, 1) \hookrightarrow \partial \overline{M}_1 \times (0, 1) \subset \overline{M}_1 \times [0, 1).$$ El complemento de esta incrustación tiene dos componentes, precisamente uno de los cuales es compacto y es un cobordismo $W : \partial \overline{M}_0 \leadsto \partial \overline{M}_1$ .

Este es un $h$ -cobordismo, ya que cada uno de los $\partial \overline{M}_i \times [0, 1)$ y $W$ son homotópicamente equivalentes al espacio $$\mathcal{E}(M) := \mathrm{holim}_{K \subset M \text{compact}} M \setminus K$$ ya que son evidentes los subdiagramas cofinales indexados por $K = M \setminus c_i(\partial \overline{M}_i \times [0, \epsilon))$ para $i$ que son homotópicamente constantes.

Así, los dos límites $\partial \overline{M}_i$ son $h$ -cobordante (por lo tanto difeomorfo si están simplemente conectados). Si las fronteras no están simplemente conectadas, entonces imagino que esta $h$ -cobordismo puede ser no trivial, como en la discusión de Benoît Kloeckner.