La declaración me parece falso. La dificultad, desde algún punto de vista, es que en el espectro de la secuencia que va desde $H^{-i}(G;\pi_j(M))$ a $\pi_{i+j}(M^{hG})$ un número infinito de torsión grupos pueden conspirar para hacer algo racionalmente no trivial.
Como yo lo entiendo, la declaración de que usted está preguntando acerca de dice que si un grupo finito $G$ actúa en un espacio de $M$, y si tanto $M$ y el homotopy punto fijo del espacio $M^{hG}$ simplemente conectado, y si $M\to M_{\mathbb Q}$ es una racionalización de $M$ que es también una $G$-mapa de algún tipo de acción de $G$ a $M_{\mathbb Q}$, entonces la inducida por el mapa de $M^{hG}\to (M_{\mathbb Q})^{hG}$ es también una racionalización.
Vamos a hacer un contraejemplo en el que $G$ actos trivialmente en $M$ (y en $M_{\mathbb Q}$). En este caso, $M^{hG}$ es la función de espacio de $Map(BG,M)$. Me dicen que es suficiente si se puede encontrar un simplemente se conecta el espacio de $M$ y un grupo finito $G$ tales que la función basada en el espacio $Map_\ast(BG,M)$ simplemente se conecta pero no racionalmente trivial. Si es así, entonces la secuencia fibration
$$
Map_\ast(BG), M)\a Mapa(BG), M)\M
$$
muestra que $Map(BG,M)$ es simplemente conexa, y también en el fibration secuencia
$$
Map_\ast(BG), M)_{\mathbb Q}\a Mapa(BG), M)_{\mathbb Q}\a M_{\mathbb Q}
$$
el mapa de la derecha no es un débil equivalencia. Por otro lado, en la secuencia fibration
$$
Map_\ast(BG,M_{\mathbb Q})\a Mapa(BG,M_{\mathbb Q})\a M_{\mathbb Q}
$$
el mapa de la derecha es un débil equivalencia debido a $H^j(BG;V)=0$ para $j>0$ e $V$ racional espacio vectorial. De ello se sigue que
$$
Mapa(BG), M)_{\mathbb Q}\a Mapa(BG,M_{\mathbb Q})
$$
no es un débil equivalencia.
Para lograr ese $M$ e $G$ podemos utilizar el Atiyah-Segal finalización teorema. La idea básica es tomar $M$ a $BU$, pero tengo que modificar un poco para hacer $Map_\ast (BG,M)$ simplemente conectado.
Empezar con $BU$, cuya homotopy grupos se $\pi_{2k}\cong \mathbb Z$ con complejo de la conjugación de actuar por $+1$ cuando $k$ es incluso y por $-1$ cuando $k$ es impar. Localizar invirtiendo $2$, y dividir el resultado como un producto de dos factores de acuerdo a la conjugación de la acción. $M$ será el factor correspondiente a $-1$, por lo que su homotopy grupos se $\pi_j\cong \mathbb Z[1/2]$ si $j$ congruente a $2$ mod $4$.
Deje $G$ ser el diedro grupo de orden $6$. A continuación, $H^i(BG;\mathbb Z[1/2])$ es trivial si $i$ no es un múltiplo de $4$ y es de orden $3$ si $i>0$ es un múltiplo de $4$. De ello se desprende que $Map_\ast(BG,M)$ simplemente se conecta y que $\pi_2Map_\ast(BG,M)$ es el límite inversa de los más grandes y de mayor tamaño finito $3$-grupos. Por Atiyah-Segal (que describe el homotopy grupos de relacionados con el espacio $Map_\ast(BG,BU)$) no es en realidad una copia de la $3$-ádico enteros aquí, por lo que el grupo racionalmente es trivial.
