Asymptotics de la tasa de crecimiento de un grupo de

Question

Deje $\Gamma$ ser un finitely generado grupo de crecimiento exponencial y $gr(S)=\lim_{k\rightarrow \infty} \sqrt[k]{|B_k(S)|}$ ser la tasa de crecimiento de $\Gamma$ con respecto a la generación de set $S$. Estoy confundido con la siguiente pregunta: ¿siempre existe un grupo electrógeno $S'$ tal que $$\frac{|B_k(S')|}{gr(S')^k}\rightarrow 1, \text{ when }k\rightarrow \infty$$

Answer 1

Nunca hay un finito () set de generación de energía con esa propiedad.

Considere la posibilidad de un set de generación de energía $S=\{x_1,\ldots,x_{\ell}\}$ de cardinalidad $\ell$. Vamos $B_k := B_k(S)$, $S_k := B_k \setminus B_{k-1}$, y $g := gr(S)$. Deje $b_k := |B_k|$ e $s_k: = |S_k|$. Supongamos por simplicidad que $L := \lim_{k \to \infty} \frac{b_k}{g^k}$ existe (aunque no debería ser difícil de obtener en general liminf límites). También se establece $$ L' := \lim_{k \to \infty} \frac{s_k}{g^k} = \lim_{k \to \infty} \frac{b_k-b_{k-1}}{g^k} = \left(1-\frac{1}{g}\right)L. $$

Para las esferas, hay un trivial desigualdad $s_{m+n} \leq s_m s_n$. (Cualquier palabra de longitud mínima $m+n$ en los generadores pueden ser por escrito, al menos, de una manera como un producto de dos palabras de longitud mínima $m$ e $n$.) Esto ya es suficiente para dar a $L' \geq 1$, y por lo tanto $$ L \geq \frac{1}{1-\frac{1}{g}} > 1. $$

Este es insatisfactoria y que todavía le deja la posibilidad de que $L'=1$. Por lo tanto, puedo eliminar esa posibilidad también, por la mejora de la trivial enlazado $s_{2k} \leq s_k^2$ a $s_{2k} \leq \left(1-\frac{1}{2\ell}\right)s_k^2$. Esta mejora (a diferencia de lo trivial, de mejora de la anterior) no se cumple para monoids, por lo que el extra de cancelación viene (como era de esperar) de la existencia de inversos.

Específicamente, fix $k$, vamos a $E_i$ ser el conjunto de todos los elementos de $S_k$ el cual puede ser escrito como una palabra de longitud $k$ terminando en $x_i$, y deje $E_{\ell+i}$ ser el conjunto de todos los elementos de $S_k$ el cual puede ser escrito como una palabra de longitud $k$ terminando en $x_i^{-1}$. Conjunto $$ F_i = E_i \setminus \bigcup_{j < i} E_j, $$ por lo que el $F_i$ son disjuntas. Deje $F_i'$ ser la imagen de $F_i$ en la inversión mapa, y deje $n_i = |F_i|$. El producto de un elemento de $F_i$ y un elemento de $F_i'$ puede ser escrito con $2k-2$ letras (porque el $x_i$ e $x_i^{-1}$ cancelar), por lo que los $n_i^2$ productos no están en $S_{2k}$. Por lo tanto, hemos $$ s_{2k} \leq s_k^2 - \sum_{i=1}^{2\ell} n_i^2. $$ Por la desigualdad de Hölder, tenemos $$ s_k = \sum_{i=1}^{2\ell} n_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{2\ell} 1^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{2\ell} n_i^2} $$ $$ \frac{s_k^2}{2\ell} \leq \sum_{i=1}^{2\ell} n_i^2. $$ La combinación de las desigualdades que da $$ s_{2k} \leq \left(1-\frac{1}{2\ell}\right)s_k^2. $$ Dividiendo por $g^{2k}$ y el envío de $k \to \infty$ da $$ L' \geq \frac{1}{1-\frac{1}{2\ell}} > 1. $$ Para las bolas, se obtiene la envolvente de $$ L \geq \frac{1}{\left(1-\frac{1}{g}\right)\left(1-\frac{1}{2\ell}\right)}. $$ Esta obligado es óptimo para la libre generación de conjuntos de libre grupos.

Yo estaría interesado en ver lo que Kate del límite de dice (o no dice) sobre el grupo subyacente. Puede el límite inferior me acabo de dar lograrse para non-free grupos? Puede el límite generalmente se realiza arbitrariamente cerca de $1$ por el aumento del número de generadores adecuadamente (como Misha especulado en los comentarios)? Estoy lejos de ser un experto en la combinatoria/asintótica teoría de grupo, por lo que no tengo buena intuición para lo intrínseco de la información, este valor se mantiene.

Answer 2

Creo que puede haber ejemplos que son los límites de hiperbólico grupos. He aquí una propuesta de construcción:

Tomar una infinitamente presentó el grupo de $G=\langle x,y | R_1, R_2, R_3, \ldots \rangle$ tal que $G_n=\langle x,y | R_1, \ldots, R_n \rangle$ es hiperbólica, y $G_n \neq G_{n+1}$, de tal manera que $G$ tiene un crecimiento exponencial (por ejemplo, puede contener un no-trivial gratis subgrupo). Esto puede lograrse mediante la Gromov pequeña cancelación de la teoría sobre hiperbólico grupos. Entonces yo creo que para cualquier electrógenos $\langle S\rangle=\langle x,y\rangle$, la tasa de crecimiento $\phi_n$ de % de $G_n$ con respecto al $S$ debe ser estrictamente decreciente, con el límite de la tasa de crecimiento $\phi$ de % de$G$. Por otra parte, creo que uno debe encontrar que $|B_k(S)|/\phi^k \to \infty$. Aproximadamente, creo que esto es debido por un determinado $k$, hay sólo un número finito de bucles en $B_k(S)$, los cuales son en la normal subgrupo generado por $R_j$, $j\leq n$, por lo que el crecimiento debe verse como el crecimiento de $G_n$, que debe ser mayor que $\phi_n^k > \phi^k$. Pero no sé si este argumento puede ser hecho preciso. Por un resultado de Cañón, el crecimiento de un grupo hiperbólico es racional, por lo que uno podría tener que analizar con más precisión las funciones de crecimiento de cada grupo hiperbólico $G_n$ para determinar el crecimiento de $G$.