CM $j$-invariantes en $p$-ádico campos

Question

Estoy tratando de comprender la $p$-ádico de distribución de $j$-invariantes para curvas elípticas con complejo de la multiplicación.

En concreto, supongamos $\sigma$ es algunos de incrustación $\sigma:\overline{\mathbb Q}\to \overline{\mathbb Q_p}$ a partir de los números algebraicos a la clausura algebraica de la $p$-ádico racionales. Vamos a considerar el conjunto de $$J_{p}=\{\sigma(j) \ : \ j \ \text{ is the } j\text{-invariant of some CM elliptic curve over } \overline{\mathbb Q}\}.$$

Es $J_p$ denso en cualquier barrio de $\overline{\mathbb Q_p}$? Ayuda si nos restringimos a un número finito de extensión de $\mathbb Q_p$, o incluso sólo a $\mathbb Q_p$ sí?

Answer 1

Buena pregunta. Estoy dejando a algunos de los primeros pensamientos que ahora; espero tener la oportunidad de pensar más sobre esto más adelante.

Porque CM curvas elípticas tienen potencialmente una buena reducción de la $j$-invariante es un entero algebraico y por lo tanto se encuentra en la valoración del anillo, es decir, el cierre de la unidad de disco -- de $\overline{\mathbb{Q}_p}$. Así que no son densos en general.

Ahora tome un ordinario $j$-invariante $\overline{j}$ sobre afín a la línea de $\overline{\mathbb{F}_p}$. Es un resultado de Deuring que no es exactamente un CM $j$-invariante correspondiente a una orden de conductor de primer a $p$ (gracias a Ari Shnidman para esta corrección) que se reduce a $\overline{j}$. (Esta es la "canónica ascensor.") La preimagen de $\overline{j}$ es $p$-ádico de disco que tiene uno de los "prime-a-$p$" CM $j$-invariante. Sin embargo, también es parte de Deuring la reducción de la teoría de que el disco contiene la $j$-invariantes de CM curvas elípticas cuya CM discriminante es una potencia de $p$ veces mayor que la de la canónica de elevación-y ningún otro CM $j$-invariantes. Por lo que estos "ordinario" discos contienen infinidad de CM $j$-invariantes, contrario a lo que he dicho antes. Me pregunto si son densos en el disco. Tenga en cuenta que estos $j$-invariantes son: la generación de anillo de los campos de la clase que son, yo creo, que cada vez más se ramifica a través de $\mathbb{Q}_p$, así que si hemos restringido a CM $j$-invariantes mintiendo sólo en algunos fijos $p$-ádico campo que sería, de hecho, tiene sólo un número finito en cada disco normal.

Answer 2

Todos acumulación de puntos de $J_p$ en $\mathbb{C}_p$ son raíces de grado dos monic ecuaciones más de $\mathbb{Z}_p$, y su approximants son necesariamente supersingular en $p$. Por otra parte, no existe acumulación de puntos. (Hay, pues, una restricción adicional: la reducción del punto tiene que ser una de las $\approx p/12$ supersingular residuos en $\mathbb{F}_{p^2}$. Es esta quizás la única restricción?)

En primer lugar, la ampliación de Pete Clark observaciones, el ordinario CM de los puntos no tienen ningún punto de acumulación en $\mathbb{C}_p$. (Así que no, el CM invariantes no son densos en ninguna de las ordinarias discos). Esto es similar a la correspondiente hecho acerca de la $p$-ádico raíces de la unidad. La analogía aquí es corroborada por la Serre-Tate teoría; cf. Prop. 3.5 en de Jong y Noot del papel Jacobians con complejo de la multiplicación. Sobre la base de este, P. Habegger (Tate-Voloch conjetura en un poder de modular la curva, Int. De matemáticas. Res. Avisos de 2014) estableció mucho más general, que no subvariedad algebraica $V/\mathbb{C}_p$ en un poder modular la curva es $p$-adically aproximada por ordinario CM de los puntos de no mentir en $V$. El prototipo de $\mathbb{G}_m^r$ de los casos, donde los puntos especiales son la torsión queridos, había sido establecido por Tate y Voloch en la misma revista (Lineal formas en $p$-ádico raíces de la unidad, 1996).

Así que la pregunta se reduce a la aproximación con supersingular puntos. Estos pertenecen a la valoración de anillo de una ecuación cuadrática de la extensión de $\mathbb{Q}_p$, de ahí el reclamo en mi primer párrafo. Habegger de la Proposición 2 demuestra que $0$ es un punto de acumulación de supersingular CM de puntos, con el fin de demostrar que la restricción a los puntos en su principal resultado es esencial. Esto debería funcionar en otros ejemplos, aunque no estoy seguro exactamente lo que cuadrática de los elementos que forman parte más de $\mathbb{Z}_p$ puede ser aproximada con Habegger del método. Al menos esto demuestra la existencia de acumulación de puntos.