Has mirado en el diferencial de posets? (Definiciones de abajo de la Wikipedia.)
Deje $P$ ser localmente finito gradual poset con la única mínimo elemento. Un elemento $x$ $P$ se dice que cubrir otro elemento $y$ $P$ si $x>y$, y el rango de $x$ es uno más de los que de $y$ - o, equivalentemente, si $x>y$, pero no hay ningún elemento $z$$P$$x > z > y$.
A continuación, $P$ $r$-diferencial si
- Para todos los $x \in P$, exactamente $r$ más de los elementos de la cubierta $x$ que están cubiertos por $x$.
- Para $x, y \in P$ distintos, el número de elementos que abarca tanto $x$ $y$ y el número de elementos cubiertos por tanto $x$ $y$ son los mismos.
Estas condiciones tienen una forma equivalente como una especie de identidad diferencial que involucra operadores lineales en un espacio vectorial con base en los elementos de $P$. Deje $U$ de la base de vectores $x \in P$ a la suma de los elementos que cubren $x$, y deje $D$ $x$ a la suma de los elementos cubiertos por $x$. Se puede comprobar que, para los vectores de la base $x,y$ pertenecen al mismo nivel de $P$, el escalares $y$-componente de $(DU - UD)x$ es el número de elementos que abarca tanto $x$ $y$ menos el número de elementos cubiertos por tanto $x$ $y$ - o, al $x=y$, sólo el número de elementos que cubren $x$ menos el número de cubiertos por $x$.
Por lo tanto $P$ $r$- diferencial si y sólo si $$DU-UD = rI.$$
El operador $D$ puede ser considerado como un operador diferencial, disminuyendo el rango de un (no mínimo) elemento por uno, así como la derivada disminuye el grado de no-constante polinomio por uno. Del mismo modo, $U$ puede ser pensado como la multiplicación por una variable. Para $1$diferencial de posets, por encima de la identidad es similar a un caso de la regla del producto: $$\frac{\partial }{\partial x}x f(x) - x\frac{\partial }{\partial x}f(x) = f(x).$$
Una interesante $1$-diferencial poset es Joven de la celosía, en donde "cálculo diferencial" en el espacio de los Jóvenes diagramas (equivalentemente, entero particiones) puede revelar identidades combinatorias sobre los Jóvenes de cuadros. Es decir, es una fácil consecuencia de la "regla del producto" que $D^nU^n(\varnothing)=n!\varnothing$ $\varnothing$ el mínimo elemento de un $1$-diferencial poset, como $\frac{\partial^n }{\partial x^n}x^n=n!$ en el cálculo. La interpretación estándar de Jóvenes de cuadros a medida, cubriendo las secuencias de los Jóvenes diagramas, la ecuación se convierte en el notable Jóvenes-Frobenius de la identidad , como se explica en las páginas 8-11 por Mitchell Lee aquí.
