¿Cuáles son los posibles valores propios de estas matrices?

Question

Edit: ya que parece que estamos un poco estancados en este punto, permítanme debilitar la pregunta. Es bastante fácil ver que el conjunto de 8-tuplas de reales que pueden ser los autovalores de una matriz de la forma deseada, es cerrado. Sabemos de jjcale y Caleb Eckhardt que su complemento es no vacío. Es su complemento densa? Es decir, sería un genérico 8-tupla no se los autovalores de una matriz?

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En primer lugar, aquí es un bebé versión de la pregunta, que yo ya sé la respuesta. Considerar el complejo de Hermitian $4\times 4$ matrices de la forma $$\left[\begin{matrix}a I_2&A\cr A^*&b I_2\end{matrix}\right]$$ where $Un \en M_2(\mathbb{C})$ and $a,b \in \mathbb{R}$ are arbitrary. Can any four real numbers $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \lambda_3\leq \lambda_4$ be the eigenvalues of such a matrix, or is there some restriction? Answer: there is a restriction, we must have $\lambda_1 + \lambda_4 = \lambda_2 + \lambda_3$.

La verdadera pregunta es: ¿cuáles son los posibles valores propios de Hermitian $8\times 8$ matrices de la forma $$\left[\begin{array}{c|c}aI_4&A\cr \hline A^*&\begin{matrix}bI_2& B\cr B^*&cI_2\end{matrix}\end{array}\right]$$ with $a,b,c\in\mathbb{R}$, $A \en M_4(\mathbb{C})$, and $B \en M_2(\mathbb{C})$? Can any eight real numbers be the eigenvalues of such a matrix? (I suspect not. If they could, that would tell you that any Hermitian $8\8$ matriz es unitarily equivalente a la de este formulario.)

Answer 1

Hay un marco general para responder a preguntas como esta, que aunque no sé la respuesta en este caso. Usted está pidiendo que coadjoint órbitas de $U(8)$ el momento polytope de la acción del subgrupo $SU(4) \times SU(2) \times SU(2)$ contiene el origen. Hay un método para calcular estos polytopes en Berenstein, Arkady; Sjamaar, Reyer, Coadjoint órbitas, momento polytopes, y la de Hilbert-Mumford criterio, J. Am. De matemáticas. Soc. 13, Nº 2, 433-466 (2000). ZBL0979.53092..

Hay una manera de embalaje de todos los coadjoint órbitas juntos, diciendo que cada coadjoint órbita es un simpléctica cociente de la cotangente del paquete del grupo. Este reformula el problema como el de la informática en el momento polytope para el $U(8)$ acción en $T^*(U(8)/SU(4) \times SU(2) \times SU(2))$. Este va a ser un convexo poliédrico de cono.

Teoría General dice que no se puede calcular el espacio afín se extendió por el polytope de los genéricos estabilizador (el subgrupo de elementos de la fijación de un punto genérico). En su caso, el genérico estabilizador es el mismo que el genérico estabilizador de $SU(4) \times SU(2) \times SU(2)$ en el cociente de álgebras de Lie $\mathfrak{u}(8)/{\mathfrak{su}}(4) \oplus \mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2)$.

En el 4 por 4 caso que usted menciona, para encontrar el espacio perpendicular al momento polytope desea calcular el genérico estabilizador de $G = SU(2) \times SU(2)$ a $V = \mathfrak{u}(4)/\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2)$. Excepto para los múltiplos de 2 por 2 de identidad de este cociente puede ser identificado con $2 \times 2$ matrices. El genérico estabilizador sólo está definida hasta conjugacy, y es un poco difícil encontrar la ecuación por un momento polytope como opuesto a uno de sus Weyl conjugados. El estabilizador $G_B$ en una matriz de $B$ es el subgrupo de $(A_1,A_2)$, de modo que $A_1 B A_2^{-1} = B$. Cualquier $B$ es diagonal hacia arriba a la izquierda y a la derecha de la multiplicación, por lo que cualquier diagonal $B$ con el genérico autovalores da el genérico estabilizador. Pero tomando las $B$ diagonal resultante hyperplane no cumple con el positivo de Weyl de la cámara; esto está relacionado con el hecho de que la respuesta que queremos es que va a depender de cómo los autovalores son ordenadas, así que es mejor tomar $B$ antidiagonal. (Una vez que uno acepta que el genérico estabilizador es abelian, de cualquier rango completo $B$ es correcto). Tomar $$B = \left[ \begin{array}{cc} 0 & b_{12} \\ b_{21} & 0 \end{array} \right] , \ |b_{12}| \neq |b_{21}|, \ \ A_2 = \left[ \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right] .$$ A continuación, queremos $$A_1 = B A_2 B^{-1}$$ a ser especial unitaria. Desde $$ B A_2 B^{-1} = \left[ \begin{array}{ll} a_{22} & (b_{12}/b_{21}) a_{21} \\ (b_{21}/ b_{12}) a_{12} & a_{11} \end{array} \right] $$ es unitaria sólo si $a_{12} = a_{21} =0$, tenemos $$A_2 = \operatorname{diag}(t^{-1},t), \ \ t= a_{22}, \ A_1 = \operatorname{diag}(t,t^{-1}) .$$ Por lo tanto el genérico estabilizador es el conjunto de matrices $$diag(t,t^{-1},t^{-1},t)$$ para algunos compleja $t$ con la norma uno. La Mentira algeba del estabilizador es el lapso de $(1,-1,-1,1)$, y la perpendicular es el espacio de la $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4)$ satisfactorio

$$\lambda_1 - \lambda_2 - \lambda_3 + \lambda_4 = 0 .$$

En el 8 por 8 el caso de que quiera entender, el cociente $\mathfrak{u}(8)/\mathfrak{su}(4) \oplus \mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2)$ es (después de olvidarse de la diagonal de las matrices) se identifican con el espacio de los pares de $(A,B)$ donde $A$ es de 4 por 4 y $B$ es de 2 por 2. Genéricamente, tales matrices de rango completo, y tome $B$ a ser un genérico antidiagonal de la matriz implica que el de las matrices en $SU(2) \times SU(2)$ debe ser de la forma diag$(t,t^{-1},t^{-1},t)$. Pero luego queremos $$ A\,\text{diag}(t,t^{-1},t^{-1},t) A^{-1} $$
para ser especial unitario que no es el caso para los genéricos $A$. De modo genérico estabilizador ha trivial Mentira álgebra, lo que significa que en el momento en polytope es de rango completo (es decir, no hay ecuaciones lineales están satisfechos).

En una versión anterior de esta respuesta, que accidentalmente se llevó a $A$ a ser genérica "unitaria" y obtuve la respuesta equivocada de que el cono tiene codimension uno. Sin embargo, mi anterior respuesta incorrecta no sugerir algo acerca de las facetas del cono. Teoría General dice que el hyperplanes en el límite del cono son perpendiculares uno-dimensional de los estabilizadores. Si uno toma $A$ a ser una matriz de permutación entonces uno tiene un elemento con una dimensión estabilizador. Así que me pregunto si el cono está buscando es el cono de cuyas facetas se encuentran entre aquellos que se definen por las igualdades $$ \lambda_{\sigma(1)} - \lambda_{\sigma(2)} - \lambda_{\sigma(3)} + \lambda_{\sigma(4)} + \lambda_{\sigma(5)} - \lambda_{\sigma(6)} -\lambda_{\sigma(7)} + \lambda_{\sigma(8)} = 0 $$
donde $\sigma$ rangos de los elementos de la octava grupo simétrico. El Berenstein-Sjamaar papel responder a esta con suficiente trabajo. (Es un Schubert cálculo cálculo.)

Answer 2

Esta es una respuesta parcial que muestra una obstrucción a ciertos autovalor secuencias. En primer lugar, me dicen que si $M$ es el rango que uno, entonces no es similar a algo de el formulario establecido.

Tome una matriz de $M$ de la forma y supongamos que el rango es $0$ o $1.$ Si $a\neq0$, entonces el rango de $M$ es de al menos 4. Si $b\neq0$ o $c\neq0$, en el rango de $M$ es al menos 2. Desde $M$ es el rango de 0 o 1 debemos tener $a=b=c=0.$ Ya que tienen un 0 en la diagonal, si $A\neq0$, entonces el rango de $M$ tendría que ser de al menos 2, por lo que debe tener $A=0$. Del mismo modo, el 0 diagonal y $B\neq0$ fuerzas de la clasificación de al menos el 2, por lo que debe tener $B=0$, lo $M$ es el rango $0.$

Que elimina algunos autovalor secuencias. Ahora note que si el rango de $M$ es $\leq 3$ e $M$ es positivo semidefinite esto obliga a $a=0$ e $A=0$, por lo que están de vuelta en el caso de que usted sabe cómo lidiar con. Esto eliminará algunos otros autovalor secuencias.

Answer 3

Considere el caso donde el $8\times 8$ matriz es positiva semidefinite y se supone que los 5 mayores autovalores son todos iguales. A continuación, con el argumento de Federico Poloni que es igual a una. Entonces lo que sigue es $A = 0$ y por lo tanto el más pequeño cuatro autovalores son restringidos como en el $4\times 4$ de los casos .

Answer 4

Deje $V$ ser el verdadero espacio vectorial de las $8\times 8$ matrices de la forma dada en la pregunta.

Donde a es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^8$ posible $8$-tuplas de valores propios de las matrices en $V$.

Prueba :

Elija $M_1 \in V$ tal que $M_1$ no tiene autovalores degenerados.

Deje $v_1,...,v_8$ ser una base ortonormales de vectores propios de $M_1$ .

Luego de primer orden de teoría de perturbaciones, nos dice que es suficiente para mostrar que el mapa

$V \rightarrow \mathbb{R}^8$, $M \mapsto (v_1^* M v_1,...,v_8^* M v_8)$ tiene rango de $8$.

Así que necesito a $7$ adicional de las matrices de $M_2,...,M_8$ en $V$ tal que la matriz $X = (v_i^* M_j v_i)_{ij}$ es nonsingular .

Deje $f(a,b,c,A,B)$ ser la matriz correspondiente.

Elija $$ A_1 = \left[\begin{matrix}4&2&3&4\cr5&6&7&8\cr9&10&11&12\cr13&14&15&16\end{matrix}\right] $$ .

A continuación, elija

$M_1 = f(2.7,1,-1,A_1,diag(2,1))$,

$M_2 = f(1,0,0,0,0)$,

$M_3 = f(0,1,0,0,0)$,

$M_4 = f(0,0,1,0,0)$,

$M_5 = f(0,0,0,diag(1,1,1,2),0)$,

$M_6 = f(0,0,0,diag(1,0,0,0),diag(0,1))$,

$M_7 = f(0,0,0,diag(0,1,0,0),diag(1,2))$,

$M_8 = f(0,0,0,diag(0,0,1,0),diag(3,2))$.

Esto le da a $det X = 21.661...$ .

Answer 5

I tratar el caso real. Los autovalores de su matriz $M$ son los puntos críticos de la restricción de la asignación de $x \mapsto \langle Mx,x \rangle$ a la unidad de la esfera. Se observa que la $$ \langle Mx,x\rangle = a (x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2) + b (x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2) + 2 \langle Un (x_5, x_6, x_7,x_8)^*, (x_1, x_2,x_3,x_4)^*\rangle + 2 \langle B (x_7,x_8)^*,(x_5,x_6)^*\rangle. $$ Así que si $x$ en la unidad de la esfera es un punto crítico no es un número real $\lambda$ tal que $$ Un \left( \begin{matrix}x_5\\x_6\\x_7\\x_8 \end{de la matriz} \right) =\left( \frac{\lambda-2a}{2}\right) \left( \begin{matrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{de la matriz}\right) $$ y $$ Un^* \left( \begin{matrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{de la matriz} \right) + 2 \left( \begin{matrix} B \left( \begin{matrix} x_7 \\ x_8\end{de la matriz} \right) \\ B^* \left( \begin{matrix} x_5 \\ x_6\end{de la matriz} \right)\end{matriz} \right) = \left( \frac{\lambda-2b}{2}\right) \left( \begin{matrix}x_5\\ x_6\\ x_7\\ x_8\end{de la matriz}\right). $$ A continuación, multiplicando la primera igualdad por $A^*$ rendimientos $$ Un^*Un \left( \begin{matrix}x_5\\x_6\\x_7\\x_8 \end{de la matriz} \right) =\left( \frac{\lambda-2a}{2}\right) \left[ \left( \frac{\lambda-2b}{2}\right) \left( \begin{matrix}x_5\\ x_6\\ x_7\\ x_8\end{de la matriz}\right) - 2 \left( \begin{matrix} B \left( \begin{matrix} x_7 \\ x_8\end{de la matriz} \right) \\ B^* \left( \begin{matrix} x_5 \\ x_6\end{de la matriz} \right)\end{matriz} \right) \right] = \left( \frac{\lambda-2a}{2}\right) \left[ \left( \frac{\lambda-2b}{2}\right) I_4 - 2 \left( \begin{matrix} 0 & B \\ B^* & 0 \end{de la matriz} \right) \right] \left( \begin{matrix}x_5\\ x_6\\ x_7\\ x_8\end{de la matriz}\right). $$ Deje $a,b$ e $A,B$ ser fijo. El conjunto de autovalores $\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4$ de la matriz $$ \left( \begin{matrix} 0 & B \\ B^* & 0 \end{de la matriz} \right) $$ está contenida en el conjunto de $\{\pm \lambda_1, \pm \lambda_2\}$ donde$\lambda_1, \lambda _2$, son los dos no negativo autovalores de $B^*B$.