Si todas las bolas en $x$ e $y$ son isométrica existe una isometría el envío de $x$ a $y$?

Question

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico y $x,y \in X$. Asumir que todos los $r > 0$ las bolas $B_r(x)$ e $B_r(y)$ son isométricos.

Es cierto que existe una isometría de $X$ envío de $x$ a $y$?

Answer 1

No. Deje $x$ e $y$ ser conectados por una arista y vamos a utilizar el gráfico de la distancia de nuestra métrica. En $x$, conecte caminos de longitud $n$ por cada $n\in\mathbb N$. En $y$, hacer lo mismo, pero también conectar un camino infinito.

Answer 2

No es un 5-ejemplo de punto de $\ X := \{x\ y\ a\ b\ c\},\ $ con (simétrica) métricas de $\ d\ $ como sigue:

$$d(x\ y) = d(a\ b) = 1$$

$$d(x\ a) = d(y\ b) = 2$$

$$d(x\ b) = d(y\ a) = 3$$

$$d(x\ c) = d(y\ c) = 6$$ $$d(a\ c) = 5\qquad\qquad d(b\ c) = 4$$

Oviously, $\ B_r(x)\ $ e $\ B_r(y)\ $ son isométricos para cada $\ r>0,\ $, mientras que no hay ninguna isometría $\ f:X\rightarrow X\ $ para que $\ f(x)=y$.

COMENTARIO 1 Este ejemplo es irónico, porque mientras que los respectivos bolas son isométrica, la isometría de las bolas no respeto de los centros. En este sentido, cada limitada (y especialmente-finito) requeridos ejemplo sería irónico.

OBSERVACIÓN 2 Número $\ 5\ $ es mínima.