Primas que aparecen como órdenes de elementos de un grupo finitamente presentado

Question

¿Es cierto que dado un grupo finitamente presentado $G$ , o bien todos los primos o sólo un número finito de ellos aparecen como órdenes de elementos de $G$ ?

Answer 1

No. El conjunto de primos puede ser lo que se quiera (añadido: ¡dentro de lo razonable! Como señala Benjamin Steinberg, puede ser, de hecho, cualquier enumerable recursivamente conjunto de primos).

En primer lugar, hay que tener en cuenta que para grupos de presentación infinita, la torsión puede ser la que se quiera: la torsión en el grupo

$*_i \mathbb{Z}/p_i$

es precisamente el conjunto de primos $p_i$ por los hechos estándar de los productos libres. (Añadido: Mientras el conjunto de $p_i$ es recursivamente enumerable, entonces este grupo admite una presentación recursiva en un conjunto contable de generadores).

Por el Teorema de Incrustación de Higman, el grupo anterior puede incrustarse en un grupo finitamente presentado. Más sutilmente, esta incrustación no introduce ninguna nueva torsión--véase, por ejemplo, el Teorema 2.5 de esta preimpresión de Chiodo .

Aclaración: El teorema de incrustación de Higman se suele afirmar que sólo se aplica a los grupos contables de generación finita. De hecho, una antigua construcción de Higman, Neumann y Neumann muestra cómo incrustar un grupo contablemente generado en un grupo de dos generaciones; si el grupo contablemente generado se presenta recursivamente, entonces el grupo de dos generaciones puede considerarse también recursivamente presentado.

Más información: Siguiendo a Benjamin Steinberg comentarios a continuación respuesta y un argumento en otro documento de Chiodo (véanse también los comentarios de François G. Dorais), creo que tenemos una muy emocionante caracterización de los conjuntos de primos que pueden ocurrir como torsión en grupos finitamente presentados. (Para el caso del problema de la palabra soluble, también se necesita un teorema de Clapham, que dice que se puede hacer que la incrustación de Higman preserve la solvencia del problema de la palabra).

Un teorema muy emocionante:

Dejemos que $P$ sea un conjunto de primos.

1. $P$ ocurre como torsión en algún grupo finitamente presentado si y sólo si $P$ es $\Sigma^0_2$ .
2. $P$ ocurre como la torsión en algún grupo finitamente presentado con problema de palabras resoluble si y sólo si $P$ es recursivamente enumerable.

Answer 2

Notación:

Si $n\in \mathbb{N}$ entonces denotamos por $\pi(n)$ el conjunto de todos los factores no triviales de $n$ , incluyendo $n$ pero excluyendo $1$ . Llamar a un conjunto $X \subseteq \mathbb{N}$ factor-completo si es cerrado bajo la toma de factores no triviales. Es decir, $n\in X \Rightarrow \pi(n) \subseteq X$ . Ahora podemos dar una respuesta reforzada a la pregunta principal de este post:

Caracterización completa:

Dejemos que $X\subseteq \mathbb{N}$ . Entonces lo siguiente es equivalente:

$1$ . $X$ es el conjunto de órdenes de elementos de torsión de un grupo finitamente presentado $G$ .

$2$ . $X$ es factor-completo y tiene un $\Sigma_{2}^{0}$ descripción.

Que $1\Rightarrow 2$ es inmediata; los órdenes de torsión son cerrados bajo la toma de factores, y tienen un $\Sigma_{2}^{0}$ (véase la prueba del teorema 3.5 en arXiv:1107.1489v2). Que $2 \Rightarrow 1$ se puede ver en el siguiente resultado, que se demuestra mediante una generalización de un argumento proporcionado por Francois Dorais en un post anterior en este hilo:

Resultado técnico:

Existe un algoritmo uniforme que, a la entrada de una función computable $\phi: \mathbb{N}^3 \to \mathbb{N}$ que describe un factor completo $\Sigma_{2}^{0}$ set $A$ , da como resultado una presentación finita $P_{\phi}$ tal que $A$ es precisamente el conjunto de elementos de torsión de $gp(P_{\phi})$ .

Como cualquier conjunto de primos es factor-completo, obtenemos el siguiente corolario.

Respuesta a la pregunta principal:

Un conjunto de primos $A$ aparece como los elementos de torsión de un grupo finitamente presentado si y sólo si $A$ tiene un $\Sigma_{2}^{0}$ descripción.

Obsérvese que si $X\subseteq \mathbb{N}$ entonces el conjunto $X_{prime}:=\{p_{i}\ |\ i \in X\}$ es factor-completo y uno-uno equivalente a $X$ (siendo un conjunto de primos, con una numeración computable). Así que concluimos con lo siguiente:

Conjuntos que pueden realizarse hasta la equivalencia uno a uno:

Dado cualquier $\Sigma_{2}^{0}$ set $A$ el conjunto $A_{prime}$ es uno-uno equivalente a $A$ y puede realizarse como el conjunto de órdenes de elementos de torsión de algún grupo finitamente presentado $G$ .

Para completar, proporcionamos la prueba del resultado técnico. Se trata de la construcción descrita por François Dorais, generalizada y aplicada con cuidado para que ninguno de los elementos de torsión "choque entre sí". Disculpas por su longitud.

Prueba del resultado técnico:

Dejemos que $\{a \in \mathbb{N}\ | \ (\exists m)(\forall n) (\phi(a,m,n)=1)\}$ sea la descripción para el factor-completo $\Sigma_{2}^{0}$ set $A$ , donde $\phi: \mathbb{N}^3 \to \mathbb{N}$ es nuestra función computable. Sea $p_{1}, p_{2}, \ldots$ sea la indexación estándar de los primos ordenados por tamaño. Entonces construimos una presentación recursiva generada contablemente como sigue: Tomemos el conjunto infinito de símbolos $x_{1}, x_{2}, \ldots$ Este es nuestro conjunto generador. Para cualquier $i>1$ , añada la relación $x_{p_{i}}^{i}=1$ . A continuación, comience a computar sucesivamente $\phi(i,1,1), \phi(i,1,2), \phi(i,1,3), \ldots$ aumentando la última variable en $1$ cada vez. Si en algún momento $\phi(i,1,n)\neq 1$ entonces para, añade las relaciones $x_{p_{i}}=1$ , $x_{p_{i}^{2}}^{i}=1$ y empezar a calcular sucesivamente $\phi(i,2,1), \phi(i,2,2), \phi(i,2,3), \ldots$ . Si de nuevo algún $\phi(i,2,n)\neq 1$ , luego se detiene, añade las relaciones $x_{p_{i}^{2}}=1$ , $x_{p_{i}^{3}}^{i}=1$ y empezar a computar $\phi(i,3,1),\phi(i,3,2), \ldots$ . Al intercalar este proceso para todos los $i \in \mathbb{N}$ obtenemos una presentación recursiva generada contablemente que denotamos por $Q_{\phi}$ . Fíjate que:

a) Si $i \in A$ entonces habrá algún (mínimo) $m$ tal que $\phi(i,m,1)=1, \phi(i,m,2)=1, \ldots$ por lo que la relación $x_{p_{i}^{m}}^{i}=1$ estará presente, pero no habrá ninguna otra relación que implique $x_{p_{i}^{m}}$ y así $\langle x_{p_{i}^{m}} \rangle \cong C_{i}$ se convierte en un factor de producto libre en este grupo.

b) Si $i \notin A$ entonces para todos $m \in \mathbb{N}$ tendremos la relación $x_{p_{i}^{m}}=1$ y como $A$ es factor-completo $i$ no divide ningún elemento de $A$ . Por lo tanto, ningún elemento de orden $i$ se produce en el grupo.

Así que terminamos con el grupo $ gp(Q_{\phi}) \cong F_{\infty}$ $* _ {a \in A} ( * _ {j \in \pi(a)} C_{j})$

(Con una indexación un poco más complicada, se podría prescindir del $F_{\infty}$ factor). Como $A$ es factor-completo, vemos inmediatamente que es el conjunto de órdenes de elementos de torsión de $gp(Q_{\phi})$ . Ahora aplique la construcción de Higman-Neumann-Neumann, y luego la construcción de Higman, para incrustar esto en un grupo finitamente presentado con presentación $P_{\phi}$ . Nótese que estas incrustaciones preservan estrictamente el conjunto de órdenes de los elementos de torsión (véase el lema 6.9 y el teorema 6.10 de M. Chiodo `Finding non-trivial elements and splittings in groups'). Nótese también que esta construcción es completamente uniforme en la función computable $\phi$ utilizado para describir el conjunto $A$ .

Answer 3

Esto debería ser un comentario a la respuesta de HW pero es demasiado largo. Creo que el teorema correcto es que una colección P de primos es el conjunto de órdenes primos de los elementos de orden finito de un grupo finitamente presentado si existe un conjunto re U, una función computable $f\colon U\to Primes$ y conjuntos r.e. L,K contenidos en U tales que $P=f(L-K)$ . No sé si tal conjunto de primos debe ser una diferencia de conjuntos r.e. (que es la respuesta de HW).

Aquí está la prueba. Supongamos primero que tenemos un grupo finitamente presentado. Entonces U serán todos los pares (u,p) donde u es una palabra sobre los generadores y sus inversos y p es un primo, f es la proyección a la segunda coordenada, L son todos los pares (u,p) con $u^p=1$ en el grupo (r.e. por finitud de la presentación) y K son todos los pares (u,p) con u=1 (r.e. por la misma razón). Es evidente que los órdenes primos de los elementos del grupo son f(L-K).

A la inversa, dados U,L,K,f como arriba, considere el grupo G con generadores U sujetos a las relaciones $x^{f(x)}=1$ para x en L y $x=1$ para x en K. Este grupo tiene un conjunto r.e. de generadores y un conjunto r.e. de relatores y, por lo tanto, por el argumento de HW, se puede incrustar en un grupo finitamente presentado con los mismos órdenes finitos. Ahora G es un producto libre de grupos cíclicos infinitos (uno por cada elemento de U que no esté en K o L) y grupos cíclicos finitos de orden de f(L-K) (puede haber repeticiones porque f es muchos a uno).

Editar. He aprendido de Imágenes computables de diferencias de conjuntos r.e. que los conjuntos de la forma anterior son precisamente los $\Sigma^0_2$ conjuntos de la jerarquía aritmética y, por tanto, mucho más amplios que las diferencias de conjuntos re En sus comentarios a la respuesta de HW, François esboza cómo construir el análogo de G directamente a partir de una fórmula lógica.