Topología de SU(3)

Question

$U(1)$ es diffeomorphic a $S^1$ e $SU(2)$ es $S^3$, pero al parecer no es cierto que $SU(3)$ es diffeomorphic a $S^8$ (más abajo). Desde $SU(3)$ aparece en el modelo estándar me gustaría entender su topología.

Por una de las tablas que aquí se $SU(3)$ es un compacto, conectado y simplemente conectado 8 de dimensiones múltiples. Este MO post dice que su $\pi_5$ es $\mathbb{Z}$ por lo tanto no puede ser homeomórficos a $S^8$(por ej: consulte este artículo de wiki). Incluso si se trataba de un homotopy esfera de la conjetura de Poincaré no sería útil (al menos en el buen categoría: existe exóticas 8-esferas, ¿verdad?).

Supongo que esto es lo que el autor de esta pregunta estaba tratando de saber...

De todos modos, se sabe que cualquier colector de diffeomorphic a $SU(3)$?

Answer 1

No es mucho lo que puede decirse acerca de "se sabe que cualquier colector de diffeomorphic a SU(3)?"...

Sin embargo, $SU(3)$ es el espacio total de una $S^3$-fibration (es decir, de fibra de paquete con fibras de $S^3$) sobre las cinco dimensiones de la esfera $S^5$. Esto proviene del hecho de que $S^5:=\{(z_1,z_2,z_3)\in \mathbb C^3 : |z_1|^2+|z_2|^2+|z_3|^2=1\}$ tiene una acción transitiva por $SU(3)$, y que el estabilizador de cualquier punto es isomorfo a $SU(2)$.

Espero que esto ayude un poco.

Answer 2

A menudo me parece más útil decir $SU(3)$ es $T^2$ paquete sobre el colector de banderas en ${\mathbb C}^3$ (en sí misma una ${\mathbb CP}^1$-paquete de más de ${\mathbb CP}^2$). En parte esto es debido a que $T^2$'s homotopy grupos son más fáciles que los de $S^3$ e $S^5$.

Answer 3

Tomar el completo bandera variedad $B$ de % de $\mathbb{C}^3$ (que consiste de pares de $L\subset P$ donde $L$ es una línea y $P$ es un plano que pasa por el origen): lo $B$ es un 3-dimensional complejo proyectiva colector (o 6-dimensional real). Para cada indicador $L\subset P$, asociado al conjunto de ortonormales marcos, que consta de un vector unitario en $L$ y un vector unitario ortogonal en la de $L$ en $P$; obtener de esta manera la ortonormales marco bundle $E$, un paquete en 2 dimensiones reales de tori sobre $B$. A continuación, $SU(3)$ es equivariantly diffeomorphic a $E$.

Answer 4

Como se explica en el estudio del papel de La Geometría Compacta Mentira Grupos por L. J. Boya, y por varias otras personas aquí, $SU(3)$ es $SU(2)\cong S^{3}$ haz de fibras de más de $S^{5}$, pero en este caso en particular, se puede decir que un poco más: El $SU(2)$-paquetes de más de $S^{5}$ están clasificados por $\pi_{4}(S^{3})=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Sabemos que $SU(3)$ es no el trivial paquete, por lo tanto, debe de ser la única raíz cuadrada de la trivial principal paquete.

Answer 5

El grupo $SU(3)$ actúa transitivamente sobre $S^5$, de la unidad de vectores en $\mathbb{C}^3$. El estabilizador de un punto es $SU(2)$. Esta muestra $SU(3)$ es el espacio total de una fibra de un paquete con base $S^5$ y de fibra de $S^3$.