Es el de los módulos de grupos formales lisos?

Question

Hay una noción de fluido de la pila en "homotopical la geometría algebraica 2" y una noción de la cotangente complejo para ciertos tipos de pilas (incluidas representable pilas). Tengo dos preguntas.

1. Es el de los módulos de la pila de una dimensión conmutativa grupos formales de altura inferior o igual a $n$ liso en este sentido?

2. Es la formal de los módulos de la pila de las deformaciones de un unidimensional conmutativa grupo formal de más de un perfecto campo de la característica $p$ de la altura igual a $n$ liso en este sentido? Aquí me refiero a que el cociente de la pila de deformaciones por la acción del grupo estabilizador.

A mí me parece que (2) debe de ser cierto este es el "ind-étale" cociente de Lubin-Tate. Pregunta (1) debe ser cierto, porque de la localidad para la suavidad, pero una referencia al resultado (o, al menos, las herramientas relevantes en el hormigón) sería bueno.

Answer 1

P1: yo no encontrar la definición de una suave pila en HAG2 (sería agradable si usted proporciona un hormigón de citas!), pero la definición de suavidad sé que es: Una de morfismos $X \to Y$ algebraico de las pilas es suave si hay un diagrama conmutativo

$\require{AMScd}$ $$\begin{CD} U @>f>> V\\ @V g V V @VV h V\\ X @>>> Y \end{CD}$$ donde $U$ e $V$ son esquemas (o algebraicas, espacios) y $f,h,g$ son suaves y $g$ es surjective. (ver http://stacks.math.columbia.edu/tag/075U)

En particular, se puede tomar en nuestro ejemplo $X = \mathcal{M}_{FG}^{\leq n}$, $V = Y = Spec \mathbb{Z}_{(p)}$ y $U = Spec \mathbb{Z}_{(p)}[v_1,\dots, v_n, v_n^{-1}]$. Así que al menos en este sentido, de la lisa, la respuesta es sí: $\mathcal{M}_{FG}^{\leq n}$ es suave.

Edit: Como se ha explicado por Jacob Lurie en los comentarios, el mapa de $g$ no es suave y mi argumento falla. Lo siento por ser descuidado.