¿Qué debo llamar a un "diferencial" que los cubos, en lugar de cuadrados, a cero?

Question

Si yo tuviera un espacio vectorial lineal endomorfismo $D$ satisfacción $D^2 = 0$, yo podría llamar a un diferencial de estudio y su (co)homología $\operatorname{ker}(D) / \operatorname{im}(D)$. He de decir que se $D$ es exacta si este (co)homología se desvanece. Yo hace especialmente si $D$ aumentó un 1 algunos de calificaciones en mi espacio vectorial.

Pero yo no tengo esta estructura. En lugar de eso, tengo un espacio vectorial con un endomorfismo $D$, que se incrementa en 1 algunos de clasificación, satisfaciendo $D^3 = 0$ pero $D^2 \neq 0$. Entonces hay dos posibles "(co)homología": $\operatorname{ker}(D) / \operatorname{im}(D^2)$ e $ \operatorname{ker}(D^2)/\operatorname{im}(D) $. Es un divertido ejercicio que si uno de estos grupos se desvanece, entonces también lo hace el otro, lo que tiene sentido hablar de $D$ ser "exacto".

Sin duda, este tipo de estructura ha aparecido antes. ¿Tiene un nombre estándar? Donde puedo leer algunos primaria de discusión?

Answer 1

Me acaba de llamar un módulo más de la truncada polinomio álgebra $k[D]/D^3$. Sus dos sabores de homología aparecen como positivo impar-grado y grado de grupos en $\operatorname{Ext}^*_{k[D]/D^3}(k,M)$. (Esto es $2$-periódico en positivo grados). La "exactitud" debe mantener con precisión si $M$ es libre como un módulo.

La misma interpretación funciona también para los habituales de los complejos de la cadena, por el camino. El álgebra aparece no es el exterior de álgebra $k[D]/D^2$, y el $\operatorname{Ext}$-los grupos son en realidad $1$-periódico en positivo grados y recuperar la noción usual de homología.

Si quieres ser de lujo, usted puede localizar el derivado de la categoría de $k[D]/D^3$ (o $k[D]/D^2$) por la matanza de libre módulos. Si haces esto correctamente, usted obtener el llamado "estable la categoría de módulo" (un establo $\infty$ o la dirección general de la categoría), en los que la asignación complejo de $k$ a $M$ es en realidad una completamente periódicos versión de la anterior $\operatorname{Ext}$, por lo que en cierto sentido es, precisamente, descrito por sus dos diferentes "homologías" de $M$.

Answer 2

Hace muchos años, cuando yo era un estudiante de posgrado, recuerdo haber visto un par de artículos sobre las homologías de los operadores de satisfacciones $\partial^p=0$, generalizando el caso de $p=2$. Me parece recordar que eran por alguien como Steenrod, y es posible que evan han sido en los Anales, en algún momento en los años 40 o 50 años.

Por desgracia, estoy en casa ahora y no poder acceder a MathSciNet a mirar hacia arriba. Sin embargo, recuerdo que era algo así como un conjunto de axiomas, la generalización de la Steenrod axiomas, para los diversos '$p$-homologías " que podrían estar asociados a espacios topológicos uso de este tipo de operadores.

Se me olvida ahora por qué estaba interesado en ellos. Cuando estoy de vuelta en mi oficina (tal vez mañana), voy a tratar de encontrar en MathSciNet.

Answer 3

Tales objetos, para obtener más general de los valores de $3$, o al menos el graduado de la versión (es decir, $\mathbb{Z}$-clasifica objetos donde $D$ es un título de un mapa con $D^N=0$) han atraído el interés en la teoría de la representación de finito dimensionales álgebras en los últimos años, bajo el nombre de "$N$-complejos".

La relativamente reciente de papel

Iyama, Osamu; Kato, Kiriko; Miyachi, Jun-Ichi, categorías Derivadas de $N$-complejos, J. Lond. De matemáticas. Soc., II. La Ser. 96, Nº 3, 687-716 (2017). ZBL1409.18013.

puede ser de interés para el bastante larga lista de referencias relevantes en la introducción.

Answer 4

La situación similar a lo que usted está describiendo sucede cuando la gente habla acerca de los llamados N-álgebras de Koszul, definido originalmente por R. Berger en su papel de "Koszulity para nonquadratic álgebras" (J. Álgebra 239 (2001), 705-734). Básicamente, para un álgebra con homogéneo de relaciones de grado N, la forma en que se construye un complejo que determina si el álgebra es "homologically bien comportado" (un análogo de la Koszul complejas de una ecuación cuadrática álgebra) se obtiene a partir de una $D^N=0$ situación, considerando la cadena complejo, donde el diferencial es igual a $D$ en lugares extraños y a $D^{N-1}$ , incluso en los lugares. Aparte del papel de Kapranov mencionado en los comentarios, esta es la fuente más común de este tipo de fenómenos soy consciente de.