Este es un resumen de mi comentario anterior muestra que existe un modelo de la teoría de conjuntos con los átomos (ZFA).
Si $X$ e $B\colon a\mapsto B_a$ son como en la pregunta, permítanme llamar a $B$ una función de asignación de $X$. La observación fundamental es que la asignación de funciones no como automorfismos.
Lema 1: $\def\zfa{\mathrm{ZFA}}\zfa(F)$ demuestra que si $B$ es una función de asignación de $X$, e $F$ es un automorphism del universo, que $F(B)=B$,, a continuación, $F(a)=a$ por cada $a\in X$.
Prueba: Desde $X=\operatorname{dom}(B)$, tenemos $F(a)\in F(X)=X$. Por otra parte, $F(B_a)=B_{F(a)}$, por lo tanto la restricción $F\restriction B_a$ es un bijection entre el $B_a$ e $B_{F(a)}$. Esto implica $a=F(a)$ as $B$ es una función de asignación.$\qquad\Box$
Ahora veamos lo que esto da para la permutación de los modelos. Primero voy a recordar brevemente la construcción para fijar la notación. Trabajamos en un modelo de ZFA con un conjunto de átomos $A$. Podemos arreglar un grupo de permutaciones $G\le\mathrm{Sym}(A)$, y una normal (es decir, cerrado bajo la conjugación) filtro de $F$ de los subgrupos de $G$ que contiene todos los punto de estabilizadores $G_a=\{g\in G:g(a)=a\}$ donde $a\in A$. El uso de $\in$-inducción, cada permutación $g\in G$ se extiende de manera única a un automorphism $\hat g$ del universo. Un conjunto $X$ es simétrica si su estabilizador $G_X=\{g\in G:\hat g(X)=X\}$ es de $F$, y hereditariamente simétrica si todos los elementos de su clausura transitiva son simétricas. La clase $M$ de todos los hereditariamente simétrica de conjuntos es un modelo transitivo de ZFA, y cada una de las $\hat g$ para $g\in G$ es un automorphism de $M$.
Tenemos la satisfacción de automorfismos de reemplazo en el Lema 1. Si $M\models\zfa(\hat g)$,, a continuación,$g=\hat g\restriction A\in M$, y por el contrario, si $g\in M$, la construcción de $\hat g$ por bien fundadas recursión puede ser llevado a cabo en $M$, lo $\hat g$ es definible en $M$ con el parámetro $g$. Desde $\hat f(g)=f\circ g\circ f^{-1}$, el estabilizador de la $g$ es sólo el centralizador $C(g)$. Por lo tanto:
Lema 2: Para $g\in G$, $M\models\zfa(\hat g)$ iff $C(g)\in F$.
Tenga en cuenta que si el trivial grupo $1$ es de $F$, entonces todos los conjuntos hereditariamente simétrico, por lo que el modelo trivializa.
Teorema: Vamos a $M$ ser una permutación modelo de ZFA define el uso de $G$ e $F$ anterior. Si $C(g)\in F$ por cada $g\in G$, e $1\notin F$, luego $M\models{}$"$A$ no tiene la función de asignación".
Prueba: Supongamos que $B\in M$ es una función de asignación de $A$. Por un lado, $B$ es simétrica, por lo que su estabilizador $G_B$ es de $F$. Por otro lado, si $g\in G_B$,, a continuación, $g=\mathrm{id}$ por los Lemas 1 y 2, por lo $G_B=1$, que contradice la hipótesis.$\qquad\Box$
Ejemplos de modelos que satisfagan las condiciones del teorema son fáciles de encontrar: por ejemplo, fijar una partición de $A$ en pares, vamos a $G$ el grupo de permutaciones de que el respeto de la partición, y deje $F$ ser el filtro generado por el punto de estabilizadores. A continuación, $G$ es abelian (un producto directo de dos grupos de elementos), por lo que la condición de centralizadores trivialmente se sostiene, y $1\notin F$ mientras $A$ es infinito.
En vista de Andrés Caicedo comentario de arriba, deje una doble función de asignación de $X$ ser un surjection $D\colon Y\to X$ tal forma que los elementos de $Y$ han pares diferentes cardinalidades. Lema 1 tiene una doble asignación de funciones, también (si $F(D)=D$ y $x=D(y)\in X$, $F$ induce un bijection de $y$ e $F(y)$, por lo tanto $F(y)=y$, por lo tanto $F(x)=x$). Por lo tanto, bajo las hipótesis del teorema, $M$ también se cumple que $A$ no tiene la doble función de asignación.
